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(Wahrscheinlichkeit) Personen in Gruppen einteilen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Gruppen, Wahrscheinlichkeit

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10:47 Uhr, 14.10.2019

Guten Tag,

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Ein Zug hat 3 Wagons. 12 Personen steigen in den Zug ein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die 12 Personen in Gruppen von drei, vier und fünf Personen aufteilen? Es wird angenommen, dass es sich um ein Laplace Versuch handelt. (Jede Person wählt zufällig und unabhängig von den anderen Personen einen Wagen.)

---

=> Meine Interpretation: Angenommen wir haben Wagen A, B und C. Nun sollen 5 Personen Wagen A wählen, 4 Personen Wagen B und 3 Personen Wagen C.

Also habe ich erstmal die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass 8 Personen in Wagen B oder C sind:

P("8 Personen in 2 Wagen, von 12 Personen")

= (\binom{12}{8}) \cdot (\frac{2}{3})^{8} \cdot (\frac{1}{3})^{4} = 0.2384

Wenn 8 Personen in Wagen B oder C sind, weiß ich ja gleichzeitig, dass 4 Personen in Wagen A sein müssen.

Dann habe ich noch berechnet, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass von den 8 Personen, die in Wagen A oder B sitzen, genau 5 in Wagen A sitzen. Also:

P("5 Personen in 1 Wagen, von 8 Personen")

= (\binom{8}{5}) \cdot (\frac{1}{2})^{5} \cdot (\frac{1}{2})^{3} = 0.21875

=> Jetzt bleibt nur noch eine Gruppe von 3 Personen übrig, die Wagen B gewählt haben.

Multipliziere ich diese beiden Wahrscheinlichkeiten, sollte ich ja das Ergebnis der Fragestellung erhalten.

Meine Lösung:

0.2384 \cdot 0.21875 = 0.05215

Die korrekte Lösung ist jedoch 0.3130

Würde mich über eine Antwort freuen!

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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11:05 Uhr, 14.10.2019

Ergebnis mal

3!

nehmen. Du musst auch die Reihenfolgen berücksichtigen. :-)

Roman-22

11:07 Uhr, 14.10.2019

> \Rightarrow

Meine Interpretation: Angenommen wir haben Wagen

A, B

und C. Nun sollen 5 Personen Wagen A wählen, 4 Personen Wagen

B

und 3 Personen Wagen C.
Nun ja, das ist eine Mögliochkeit, der Aufgabenstellung zu genügen. Das ist aber nict die einzige, denn es könnten ja auch 5 Personen in

B

sein, etc.
Da gibts nun

3! = 6

Möglichkeiten und daher musst du deine Lösung noch mit 6 multiplizeren.

Im Übrigen kommst du auch durch Abzählen etwas leichter auf das Ergebnis. Um Gleichwahrscheinlichkeit zu gewährleisten nehmen wir die Personen unterscheidbar an, auch wenn das für die Aufgabenstellung irrelevant ist.
Dann gibt es

3^{12}

Möglichkeiten für die Verteilung der

12

Personen auf die 3 Wagen.
Die 3 Personen für einen Wagen können auf

(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix})

Arten gewählt werden, die 4 Personen für den nächsten Wagen dann aus den verbliebenen 9 Personen auf

(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})

Arten. Dann eben wie oben erklärt mit

3!

multiplizieren.
Ergibt für die gesuchte WKT

\frac{(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 3!}{3^{12}} = \frac{6160}{19683} \approx 31,3 %

HAL9000

12:19 Uhr, 14.10.2019

Statt sukzessiver Binomialbetrachtungen kann man natürlich auch einmalig die Multinomialverteilung (hier wäre das

M (12, (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}))

) anwenden, d.h. sofern bekannt. Ergibt selbstverständlich dasselbe Ergebnis:

3! \cdot (\binom{12}{3, 4, 5}) \cdot \frac{1}{3^{12}} = 3! \cdot \frac{12!}{3! 4! 5! \cdot 3^{12}} = \frac{6160}{3^{9}} \approx 31.3 %

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