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Wahrscheinlichkeit - Problem mit Bernoulli-Kette

Universität / Fachhochschule

Tags: Bernoulli-Kette, mehr als, mindestens

Fingolfin aktiv_icon

20:29 Uhr, 19.04.2019

Hallo ich bin neu hier und weiß nicht, ob ich hier richtig bin.
Ich bin Quereinsteiger und muss Mathe nachstudieren. Nun beschäftigen wir uns mit Stochastik und bearbeiten Übungsaufgaben, deren Lösung ist für uns unbekannt. Wir müssten leider wirklich viel Stoff in sehr kurzer Zeit lernen und verwechsle immer noch viele Sachen.

Ich hatte Stochastik in der Schule (es ist ja auch schon lange her und nicht in DE) leider nicht und habe einige Probleme die Texte dieser Aufgaben ins mathematischen zu übersetzen.

Hier ein Bsp., das ich nicht richtig nachvollziehen kann.

"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 Runden des Roulettespiels

(37

gleichwahrscheinliche Zahlen) mindestens eine Zahl mehr als einmal aufgetreten ist?"

Das hat mit der Bernoulli-Kette zu tun (richtig?), aber ich kann

n, p, k

nicht wirklich bestimmen. Ich dachte

n = 8, p = \frac{1}{37}

und

k = 2,3,4,5,6,7,8

(hier bin ich unsicher). Aber ich kann mit den Wörtern "mindestens

. .

. mehr als einmal" etwas nicht anfangen.

Kann mir jemand helfen?

Vielen vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:31 Uhr, 19.04.2019

>

Hallo ich bin neu hier und weiß nicht, ob ich hier richtig bin.
Willkommen im Forum und ja, hier bist du richtig ;-)

Deine Aufgabe ist im Prinzip nur eine andere Einkleidung eines bekannten Problems, des Geburtstagsproblems

\to

de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon

"mindestens

. .

. mehr als einmal" soll eben heißen, dass es wenigstens eine Zahl gibt (es können gern auch mehrere sein), die zumindest zweimal (oder gern auch öfter) aufgetreten ist.

7 - 0 - 3 - 4 - 1 - 23 - 15 - 3

ist da ebenso dabei wie

7 - 3 - 7 - 3 - 3 - 3 - 7 - 3

Am besten berechnest du das mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Du versuchst also die WKT zu ermitteln, dass alle acht Zahlen unterschiedlich sind. Deine gesuchte WKT is dann die Ergänzung auf

1 (100 %)

.
Die Zahl der ersten Runde is da kein Problem, denn die ist "vorher" sicher noch nicht da gewesen.
Für die zweite Zahl gibt es nun nur die Einschränkung, dass sie nicht die gleiche wie die erste sein darf, sondern eine der

36

anderen. Die WKT dafür ist also

\frac{36}{37}

.
Für die dritte Zahl gibt es dann noch

35

Möglichkeiten

\to

WKT

\frac{35}{37}

.
Und das geht so weiter bis zur achten Zahl, für die es noch

30

Möglichkeiten gibt.

Die WKT für "es treten acht verschiedene Zahlen auf" ist daher

\frac{36}{37} \cdot \frac{35}{37} \cdot \frac{34}{37} \cdot \frac{33}{37} \cdot \frac{32}{37} \cdot \frac{31}{37} \cdot \frac{30}{37} = \frac{36!}{37^{7} \cdot 29!}

.
Deine gesuchte WKT ist daher

1 - \frac{36!}{37^{7} \cdot 29!} = \frac{52859569933}{94931877133} \approx 55,68 %

Fingolfin aktiv_icon

09:38 Uhr, 24.04.2019

Entschuldigung für die späte Antwort, aber ich war für Ostern dann weg und ich bin nicht mehr ran gekommen.

Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich war nicht darauf gekommen, die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen.
Nun habe ich aber eine Rückfrage. Wieso spielt die

\frac{1}{37}

vom ersten Vorgang in der letzten Berechnung nicht mit? Es ist mir nicht so klar...wir wollen die WKT berechnen, dass alle acht Zahlen unterschiedlich sind..

Danke!

supporter aktiv_icon

09:53 Uhr, 24.04.2019

\frac{1}{37}

ist die WKT, dass eine bestimmte Zahl auftritt.

Die WKT, dass

z . B

. die

5

in acht Runden genau 2-mal auftritt, wäre:

P (X = 2) = (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{37})}^{2} \cdot {(\frac{36}{37})}^{6} = . .

.

Die WKT, dass die 5 mindestens 1-mal auftritt, wäre:

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{37})}^{0} \cdot {(\frac{36}{37})}^{8} = 1 - {(\frac{36}{37})}^{8}

vgl:
www.frustfrei-lernen.de/mathematik/bernoulli-experiment-kette.html

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

PS:
Zu deiner Aufgabe:
In der 1.Runde gibt es

37

Möglichkeiten von

37 (\frac{37}{37} = 1,

das hat Roman weggelassen)
in der 2. nur noch

36

von

37,

in der 3. nur noch

35

usw.)

Roman-22

10:25 Uhr, 24.04.2019

>

Nun habe ich aber eine Rückfrage. Wieso spielt die

137

vom ersten Vorgang in der letzten Berechnung nicht mit?
Was meinst du damit? Welche

\frac{1}{37}

vom ersten Vorgang?
Wir möchten acht unterschiedliche Zahlen erhalten. In der erst Runde, hatte ich geschrieben, gibt es noch kein Problem. das heißt, jedes Ereignis ist "günstig" und steht nicht im Gegensatz zu unserem Ziel. Jede Zahl in der erste Runde ist uns Recht.
Für die Berechnung der Gesamtwkt. zum Schluss würde das einen Faktor 1 bedeuten, den man natürlich nicht mit anschreibt.
Erst bei der zweiten Runde könnte ein "ungünstiges" Ereignis eintreten, wenn nämlich die Zahl aus der ersten Runde nochmal kommt. Daher ist jetzt die WKT für ein "günstiges" Ereignis nur

\frac{36}{37}

usw.
Wenn du aber in der letzten Rechnung unbedingt 8 Faktoren sehen möchtest, weil es 8 Runden sind, so kannst du ja, wie supporter es gemacht hat, den Faktor 1 vorne noch hinschreiben. Er ändert natürlich nichts am Ergebnis.

Nimm an, es wären nur zwei Runden und wir möchten die WKT für zwei unterschiedliche Zahlen. Alles, was wir möchten, ist also, dass beim zweiten Mal nicht die gleiche Zahl kommt wie in der ersten Runden. Die WKT dafür ist

\frac{36}{37}

. Natürlich kannst du dafür auch

1 \cdot \frac{36}{37}

schreiben ;-)

Fingolfin aktiv_icon

10:35 Uhr, 24.04.2019

Ach so! Danke die letze Ergänzung ist sehr hilfreich. Ich hatte nämlich an

\frac{1}{37}

gedacht, musste aber

\frac{37}{37}

für den ersten Vorgang betrachten.

Und danke an supporter für die andere zwei Beispiele mit der 5. Die "genau" zweimal und "mindestens einmal" Beispiele sind mir klar, aber ich kann nicht dasselbe System für meine Aufgabe nutzen, oder? ("Mindestens zweimal...")

Danke!!

supporter aktiv_icon

10:40 Uhr, 24.04.2019

Nein, Bernoulli hilft hier nicht weiter, weil die WKT sich von Runde zu Runde ändert.

Fingolfin aktiv_icon

10:41 Uhr, 24.04.2019

Vielen vieldn Dank!

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