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Wahrscheinlichkeit Zeitpunkt eines Wurfs

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

halfdan aktiv_icon

13:26 Uhr, 27.11.2022

Folgende Aufgabe:

Bezeichne

Y

den Zeitpunkt des ersten Treffens.
Berechne folgende Wkt. zunächst allgemein und abschließend noch für

k = 10

(a)

Der erste Treffer fällt beim k-ten Versuch.

(b)

Der erste Treffer fällt frühstens beim k-ten Versuch.

(c)

Der erste Treffer fällt spätestens beim k-ten Versuch.

Treffer ist eine 6 bei einem Würfel.

(a)

{(\frac{5}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{6}

Hier habe ich mir gedacht

\to

davor sind es

k - 1

mal die Wkt. keine 6 zu Würfeln

\cdot

die Wkt eine Sechs zu würfeln.

(b)

evtl

\frac{1}{6} \sum_{i = 0}^{k} {(\frac{5}{6})}^{i}

(c)

dürfte dann

1 - p (b)

sein?

Bin aber bei

b

und

c

gerade eher verloren.

Roman-22

14:25 Uhr, 27.11.2022

Wenn du deine Antworten zu

(b)

und

(c)

vertauscht und anstelle von

k

nur

k - 1

schreibst, dann kommt das hin.
EDIT: Das ist, wie ich einer Antwort weiter unten näher ausführe, nicht ganz richtig!
Den Wert der endlichen geom. Reihe kann man dann noch mit der bekannten Summneformel konkret angeben.

halfdan aktiv_icon

15:04 Uhr, 27.11.2022

Danke Roman. Also:

(b)

1 - (c)

(c)

\frac{1}{6} \sum_{i = 0}^{k - 1} {(\frac{5}{6})}^{i}

(was meinst du hier mit konkret angeben? diese Summenformel in die Form von:

\sum_{k = 0}^{n} q^{k}

bringen?

Zum verstehen: in

c

steht jetzt: die Summe der Wkt vom ersten bis

k - 1

-ten Versuch keine 6 zu Würfeln?

Roman-22

17:47 Uhr, 27.11.2022

>

diese Summenformel in die Form von: ∑k=0nqk bringen?
Ja, aber das ist sie ja im Wesentlichen schon.
Bei

(c)

ist also das richtige Ergebnis

\frac{1}{6} \cdot \sum_{i = 0}^{k - 1} {(\frac{5}{6})}^{i} = 1 - {(\frac{5}{6})}^{k}

>

Zum verstehen: in

c

steht jetzt: die Summe der Wkt vom ersten bis k−1 -ten Versuch keine 6 zu Würfeln?
Hmmm, bei diesem Ansatz mit der Summe werden die Wkt'en aufsummiert, dass beim (i+1)-ten Versuch erstmals die Sechs kommt (mit

i

von 0 bis

k - 1)

. Also entweder kommt die Sechs schon beim ersten Wurf

(i = 0)

oder beim zweiten, oder (spätestens) beim

k

-ten Wurf

(i = k - 1)

. Das

i

gibt dabei die Anzahl der Nicht-Sechsen an, daher von 0 bis

k - 1

.

Was ich allerdings übersehen hatte ist, dass

(b)

und

(c)

nicht Komplementärereignisse sind!! Da habe ich dein "(c) dürfte dann 1−p(b) sein?" zu kritik- und gedankenlos übernommen, obwohl es ja eh nur als Frage formuliert war ;-)
Der Fall. dass die Sechs erstmals genau beim

k

-ten Wurf auftritt ist ja in beiden Ereignissen enthalten!
Daher ist

P ((b))

nicht

1 - P ((c))

.

Aber es geht ohnedies viel einfacher ohne Summen:

Bei

(b)

ist ja nur wesentlich, dass die ersten

k - 1

Würfe keine Sechsen sind. Was danach passiert ist völlig egal. Daher ist

P ((b)) = {(\frac{5}{6})}^{k - 1}

Und bei

(c)

kann man ähnlich vorgehen, wenn man sich überlegt, dass

(c)

ja das Gegenereignis von "frühestens beim

(k + 1)

-ten Wurf" ist und dafür ist analog zu

(b)

die Wkt

{(\frac{5}{6})}^{k}

. Damit kommt auch sofort auf

P ((c)) = 1 - {(\frac{5}{6})}^{k}

halfdan aktiv_icon

08:46 Uhr, 28.11.2022

Stimmt, frühstens beim k-ten und spätestens beim k-ten sind nicht komplementär! Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.

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