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Wahrscheinlichkeit bei Kniffel

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: kniffel, Wahrscheinlichkeitsmaß, würfe

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17:51 Uhr, 25.07.2019

Moin.
Ein Freund hat gerade beim Kniffel eine These aufgestellt, die wir versucht haben, zu prüfen:
Folgendes Szenario: Ziel ist eine große Straße. Im ersten Wurf landen eine

1, 2, 3, 4

und noch eine 2.
Die These war, dass es wahrscheinlicher ist, die große Straße in den folgenden 2 Würfen zu würfeln, wenn man nicht nur die doppelte

2,

sondern auch die 1 wieder mit in den Becher zu tun, um mit einer höheren Chance auf die 5 zu würfeln. (Daraufhin ergeben ja 1 und 6 eine große Straße).
Nur die doppelte 2 wieder in den Becher zu tun und mit 2 Würfen zu versuchen, die 5 zu würfeln, ist nach seiner (bodenlosen :-D)) These bzw. Vermutung also unwahrscheinlicher, als sein Szenario.
Jetzt das Problem: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für beide Szenarien.
Wir haben uns hieran versucht und als ein mögliches Ergebnis 244/1296tel

(18.83 %)

für das komplizierte Szenario mit 2 Würfel zurück in den Becher und für das Szenario mit 1 Würfel wieder in den Becher und 2 Würfen für eine 5 eine 396/1296tel

(30,56 %)

Wahrscheinlichkeit.

Viel Spaß beim durchrechnen :-D)
Und danke, für fachmännische Unterstützung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:27 Uhr, 25.07.2019

Hallo

a)

erstes Szenario
Wir legen nur einen Würfel zurück in den Becher zum Würfeln.

>

Wahrscheinlichkeit, dass im 2. Wurf KEIN 5-er kommt:

p = \frac{5}{6}

>

Wahrscheinlichkeit, dass im 3. Wurf KEIN 5-er kommt:

p = \frac{5}{6}

>

Wahrscheinlichkeit, dass im 2. und 3. Wurf KEIN 5-er kommt:

p = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}

>

(Gegen-) Wahrscheinlichkeit, dass im 2. oder 3. Wurf ein 5-er kommt:

p = 1 - \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{11}{36} = 0.30555

b)

zweites Szenario
Wir legen zwei Würfel zurück in den Becher zum Würfeln, (und behalten

2,3,4)

>

Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf

1, 5

5, 1

5, 6

oder

6,5

zu würfeln:

p = \frac{4}{36}

b . 2)

Jetzt musst du dich entscheiden und näher festlegen, wie du vorgehen willst, wenn du eine

6,

aber keine 5 würfelst. Behältst du dann die

' 6'

oder nicht?

anonymous

22:15 Uhr, 25.07.2019

Chance auf eine 5 durch 2 Würfe mit einem Würfel:

\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{11}{36}

.

Chance auf eine 1 und eine 5 durch 2 Würfe
mit 2 Würfeln, wobei eine 1 oder 5 nach
dem ersten Wurf behalten wird:

2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} (1

und 5 durch Wurf

1)

+

(2 \cdot (2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{36})) \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

(ein- oder zweimal die 1 oder (exklusives oder) die 5 durch Wurf 1 und darauf die jeweils andere Zahl durch Wurf

2)

+

(1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{18} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{18} = \frac{4}{162} = \frac{2}{81}

(keine 1 oder 5 durch Wurf

1,

aber 1 und 5 durch Wurf

2)

\frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{2}{81} = \frac{5}{36} + \frac{2}{81} = \frac{45}{324} + \frac{8}{324} = \frac{53}{324}

.

Vergĺeich:

\frac{53}{324} < \frac{11}{36}

\Leftrightarrow

53 \cdot 36 < 11 \cdot 324

\Leftrightarrow

1908 < 3564

.

Die "normale" Vorgehensweise ist besser.

anonymous

00:04 Uhr, 26.07.2019

So, jetzt mit ein wenig mehr Zeit konnte ich die Dinge nochmals etwas besser aufbereiten.

b)

zweites Szenario
Wir legen zwei Würfel zurück in den Becher zum Würfeln, (und behalten

2,3,4)

b . 3)

Angenommen du würfelst eine der folgenden Variationen im 2. Wurf:

1, 5

5, 1

5, 6

6, 5

Dann hast du schon im 2. Wurf eine große Straße, und damit gewonnen.
Das gelingt dir in diesen 4 von

6^{2}

Fällen, also mit

p = \frac{4}{36} = \frac{24}{216}

b . 4)

Angenommen du würfelst eine der folgenden Variationen im 2. Wurf:

2, 5

3, 5

4, 5

5, 2

5, 3

5, 4

5, 5

Das gelingt dir in diesen 7 von

6^{2}

Fällen, also mit

p = \frac{7}{36}

Dann lässt du die "5" liegen, und nimmst den verbleibenden Würfel zurück in den Würfelbecher. Das in der Hoffnung, im 3. Wurf eine
1
oder
6
zu würfeln.
Das gelingt dir in diesen 2 von 6 Fällen.
Insgesamt also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von

p = \frac{7}{36} \cdot \frac{2}{6} = \frac{14}{216}

b . 5)

Angenommen du würfelst eine der folgenden Variationen im 2. Wurf:

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 6

2, 1

3, 1

4, 1

6, 1

Das gelingt dir in diesen 9 von

6^{2}

Fällen, also mit

p = \frac{9}{36}

Dann lässt du die "1" liegen, und nimmst den verbleibenden Würfel zurück in den Würfelbecher. Das in der Hoffnung, im 3. Wurf eine
5
zu würfeln.
Das gelingt dir in diesem 1 von 6 Fällen.
Insgesamt also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von

p = \frac{9}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{216}

b . 6)

Angenommen du würfelst eine der folgenden Variationen im 2. Wurf:

2, 6

3, 6

4, 6

6, 2

6, 3

6, 4

6, 6

Das gelingt dir in diesen 7 von

6^{2}

Fällen, also mit

p = \frac{7}{36}

(Das ist der Fall, in dem ich um

19 : 27 h

unsicher war. Du hast deine Strategie hierfür auch nicht erklärt. Ich habe mir mittlerweile klar gemacht, dass folgende Strategie die günstigste ist:-)
Dann lässt du die "6" liegen, und nimmst den verbleibenden Würfel zurück in den Würfelbecher. Das in der Hoffnung, im 3. Wurf eine
5
zu würfeln.
Das gelingt dir in diesem 1 von 6 Fällen.
Insgesamt also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von

p = \frac{7}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{216}

b . 7)

Angenommen du würfelst eine der verbleibenden Variationen im 2. Wurf:

2, 2

2, 3

2, 4

3, 2

3, 3

3, 4

4, 2

4, 3

4, 4

Das gelingt dir in diesen 9 von

6^{2}

Fällen, also mit

p = \frac{9}{36}

Das bringt dir nichts, da du

2,3,4

ja schon aus dem 1. Wurf liegen hast.
Deshalb nimmst du nochmals beide Würfel zurück in den Würfelbecher. Das in der Hoffnung, im 3. Wurf

1, 5

5, 1

5, 6

6, 5

zu würfeln, um so schlussendlich doch noch im 3. Wurf zur gewünschten großen Straße zu kommen.
Das gelingt dir in diesen 4 von

6^{2}

Fällen.
Insgesamt also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von

p = \frac{9}{36} \cdot \frac{4}{36} = \frac{6}{216}

b . 8)

Fassen wir zusammen:
Wenn du gemäß

b)

vorgehst, dann beträgt deine Gewinnwahrscheinlichkeit:

p = \frac{24}{216} + \frac{14}{216} + \frac{9}{216} + \frac{7}{216} + \frac{6}{216} = \frac{60}{216} = \frac{10}{36}

c)

Vergleichen wir:
Gewinnwahrscheinlichkeit gemäß Vorgehensweise

a) :

p_{a} = \frac{11}{36}

Gewinnwahrscheinlichkeit gemäß Vorgehensweise

b)

(detailliert gemäß

b . 6) :

p_{b} = \frac{10}{36}

Die Strategie

a)

ist aussichtsreicher.

anonymous

02:17 Uhr, 26.07.2019

Oh, Entschuldigung, nicht nur 1 und

5,

sondern auch 5 und 6 tuen es ja.
Korrigierte Version kommt sofort...

\frac{53}{216}

habe ich jetzt für den Spezialtrick,
was immer noch unterlegen ist.

Die Tabelle im Bild bezieht sich auf den
ersten Wurf mit zwei Würfeln (nachdem

2,3,4

geworfen wurde) und der bestimmt,
ob und wie der Wurf darauf getätigt wird...

Die vier Blitze: Eine große Straße ist fertig, Chance

\frac{4}{36} = \frac{1}{9}

.

Die

23

Kreuze: Wenigstens eine Zahl ist brauchbar,
die fehlende muss noch gewürfelt werden, Chance

\frac{23}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{23}{216}

.

Die 9 Nullen: Der Wurf ist komplett unbrauchbar,
einzig ein weiterer, letzter Wurf mit zwei Würfeln
kann das Blatt noch wenden, Chance

\frac{9}{36} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{36}

.

Zusammen:

\frac{1}{9} + \frac{23}{216} + \frac{1}{36} = \frac{53}{216}

anonymous

09:10 Uhr, 26.07.2019

Hallo OfficePalmer
Der Mangel an deinem Ansatz dürfte darin zu suchen sein, dass du bei
"x, 1Treffer, dann noch einmal mit einem Würfel"
nicht unterscheidest, ob du beim zweiten Mal Würfeln eine "1", "5" oder "6" gefunden hast.
Im Gegensatz zu "1" oder "6" hast du bei der "5" doppelte Chance, im letzten,

d . h

. im dritten Wurf mit einem Würfel durch "1" oder "6" erfolgreich eine Straße zu erwürfeln.

Toddo aktiv_icon

11:17 Uhr, 26.07.2019

Phänomenal zusammengefasst! Danke!

anonymous

12:20 Uhr, 26.07.2019

Oh ja, dann sind's

\frac{1}{9} + \frac{16}{36} \cdot \frac{1}{6} + \frac{7}{36} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{36}

\frac{1}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{6} + \frac{7}{108} + \frac{1}{36}

\frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{7}{108} + \frac{1}{36}

\frac{5}{27} + \frac{5}{54}

\frac{15}{54}

\frac{5}{18}

.

Jetzt wie bei Dir, Elfengleich,

\frac{10}{36}

.
Danke, ich Idi, na ja, waren ja

40

Grad gestern...

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