Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wahrscheinlichkeit bei Ziehen von 3 aus 52 Karten

Wahrscheinlichkeit bei Ziehen von 3 aus 52 Karten

Universität / Fachhochschule

Tags: Kartenspiel, Wahrscheinlichkeitsrechnung, ziehen ohne zurücklegen

Ozymandias aktiv_icon

22:44 Uhr, 01.04.2016

Hallo, ich suche die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen einer Art "Wette". Sie besteht darin, daß aus einem Kartenspiel mit $52$ Karten (vier Farben mit je $13$ Karten, 2 bis As), drei Karten entnommen werden.

Die Frage ist: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß von diesen drei Karten mindestens eine Karte ein As, eine Zwei oder eine Drei ist ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:53 Uhr, 01.04.2016

$>$ Die Frage ist: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß von diesen drei Karten mindestens eine Karte ein As, eine Zwei oder eine Drei ist ?

Sie liegt über $50 %!$

Zur Berechnung betrachte das Gegenereignis- alle drei Karten werden aus den verbleibenden $40$ Karten de Spiels gewählt - und berechne dafür die WKT

$R$

Ozymandias aktiv_icon

23:18 Uhr, 01.04.2016

Danke erstmal - aber warum werden die drei aus den verbleibenden $40$ Karten gewählt; sie werden doch aus dem kompletten Deck von $52$ Karten gezogen ?

Roman-22

01:52 Uhr, 02.04.2016

Ja, aber wir wollen doch das Gegenereignis betrachten, also den Fall, dass KEINE der drei Karten Asse , Zweien oder Dreien sind. Alle drei Karten müssen dann also aus jenen $40$ Karten stammen, die eben nicht As, Zwei oder Drei sind.

Die WKT für dieses Ereignis kannst du dir nun auf zwei Arten überlegen, entweder kombinatorisch ("Günstige durch Mögliche") oder du bestimmst für jeden einzelnen der drei Züge die WKT, dass die Karte weder As, noch Zwei noch Drei ist und multiplizierst diese dann.

$R$

Ozymandias aktiv_icon

21:59 Uhr, 02.04.2016

Das hieße dann $1 - {(\frac{40}{52})}^{3} = 54,483 % . .$ . korrekt ?

anonymous

22:11 Uhr, 02.04.2016

So wie du es berechnet hast, gehst du offensichtlich von 'Ziehen mit Wiederholung' aus.
'Mit Wiederholung', das heisst:
Du ziehst die erste Karte, siehst sie dir an, ob es As, Zweier oder Dreier ist, steckst sie zurück zu den $51$ anderen Karten und mischelst die $52$ Karten wieder ordentlich durch.
Dann ziehst du die zweite Karte, siehst sie dir an, steckst sie zurück und mischelst die $52$ Karten durch.
Dann ziehst du die dritte Karte....

Ob du MIT oder OHNE Wiederholung im Sinn hast, hast du in der Aufgabenstellung nicht genau beschrieben.

Ozymandias aktiv_icon

23:09 Uhr, 02.04.2016

Oh $. .$ . danke $. .$ . dann ist es immer noch falsch. Denn es soll Ziehen OHNE Zurücklegen sein $. .$ . dann würde ich intuitiv sagen $1 - (\frac{40}{52}) \cdot (\frac{40}{51}) \cdot (\frac{40}{50})$ Bin ich damit näher dran ?

Roman-22

02:31 Uhr, 03.04.2016

$>$ Bin ich damit näher dran ?
Näher schon, aber noch nicht ganz dort.

Die $\frac{40}{52}$ sind die WKT dafür, dass die erste gezogene Karte nicht $A - 2 - 3$ ist.
Jetzt gibt es nur mehr $51$ Karten, aber auch nur mehr $39$ "günstige". Daher sind die $\frac{40}{51}$ falsch.

$R$

Ozymandias aktiv_icon

02:47 Uhr, 03.04.2016

Ja, das macht Sinn. Nach dem ersten Ziehen sind, sofern die erste Karte eine ist, die mir nicht nützt, sind immer noch die $12$ Karten im Deck, die mir helfen, aber nur noch $39$ von den anderen $. .$ . also

$1 - (\frac{40}{52}) \cdot (\frac{39}{51}) \cdot (\frac{38}{50}) = 55,29 %$ sollte jetzt passen ...?!

Roman-22

02:54 Uhr, 03.04.2016

$> 55,29 %$ sollte jetzt passen ...?!
Ja, das ist jetzt richtig.

Die Alternative wäre $1 - \frac{(\begin{matrix} 40 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 3 \end{matrix})}$ gewesen.

$R$

Ozymandias aktiv_icon

03:03 Uhr, 03.04.2016

Danke auch dafür :-) Aber da meine Statistik- und Mathe-Scheine aus dem BWL-Studium schon viel zuweit zurückliegen, wäre ich darauf erst recht nicht gekommen lol

Noch ganz kurz: kann man in einem Satz, oder wenigen Sätzen ("explain it like I'm 5" $...)$ darlegen, warum man hier zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen muß, was ist das allgemeine Prinzip ?

-Wolfgang-

08:24 Uhr, 03.04.2016

Hallo,

immer wenn du eine Wahrscheinllichkeit der Form P("mindestens ein ...") ausrechnen musst, ist es wesentlich einfacher, mit der Wahrscheinlichtkeit des Gegenereignisses "kein ..." zu rechnen:

P("mindestens ein ...") $= 1 -$ P("kein ...")

Gruß Wolfgang

anonymous

11:18 Uhr, 03.04.2016

Na ja, gestatte mir ein wenig zu präzisieren.
Es ist wie so oft: Es gibt viele Wege nach Rom.
Viele Wege davon sind umständlich.
Viele Wege sind Umwege.
Viele Wege sind Sackgassen.
Viele Wege sind so komplex, dass man vor lauter Wirrwarr und Verlaufen nicht ans Ziel gelangt.
Ein wenig Ortskenntnis und Routine erleichtert aber, einen möglichst direkten und einfachen Weg nach Rom einzuschlagen.

So vergleichbar ist es auch in der Mathematik, oder präziser bei der Wahl des Gegenereignisses.
Nehmen wir doch ein Beispiel.
Wie wahrscheinlich ist es, wenn man aus einem Kartenstapel eine Anzahl $n$ Karten (ohne Wiederholung) zieht, dass das Herz-As darunter ist?

Solange $n$ klein ist, also $n = 1, 2, 3 ...,$ dann ist es doch eher vorteilhaft, eben diese $1, 2, 3$ (Direkt-)Ereignisse zu betrachten.
Eben
$p (n = 1) = \frac{1}{52}$
$p (n = 2) = \frac{1}{52} + \frac{51}{52} \cdot \frac{1}{51}$
$. .$ .
Wenn $n$ aber groß wird, also beispielsweise $n = 49, 50, 51, 52,$ dann ist es doch eher vorteilhaft, das Gegenereignis zu betrachten.
Es gilt zu erkennen, dass die Aufgabenstellung logisch genauso gut (oder sogar leichter) darüber zu lösen ist, indem man sich fragt:
Wie wahrscheinlich ist es, wenn man aus einem Kartenstapel eine Anzahl $n$ Karten zieht, dass das Herz-As NICHT darunter ist?
p_gegen $(n = 52) = 0$
p_gegen $(n = 51) = \frac{1}{52}$
p_gegen $(n = 50) = \frac{1}{52} + \frac{51}{52} \cdot \frac{1}{51}$

Kurz und gut ("explain it like I'm 5"), "warum man hier zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen muss".
Nein - du musst nicht zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Du kannst auch nach Rom reisen, indem du in Stuttgart den Flieger nach Helsinki nimmst, von dort nach Moskau läufst, dort soll es billige Transsibirische nach Peking geben, mit dem Bus nach Singapur und von dort ein Containerschiff nach Rom suchst.
Kurz und gut, man kann es umständlich machen.
Oder - mit ein wenig mathematischer Routine und Sachverstand - erkennen, dass das Gegenereignis der viel direktere Weg von Stuttgart nach Rom ist.

Bummerang

13:21 Uhr, 03.04.2016

Hallo,

"immer wenn du eine Wahrscheinllichkeit der Form P("mindestens ein ...") ausrechnen musst, ist es wesentlich einfacher, mit der Wahrscheinlichtkeit des Gegenereignisses "kein ..." zu rechnen"

Was -Wolfgang- hier schreibt, ist grober Unfug! Man muss stets abwägen, ob das Gegenereignis mit weniger Aufwand zu erreichen ist oder nicht (siehe Beitrag cositan). Als einfaches Beispiel, dass -Wolfgang- hier irrt, ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei gleichzeitig geworfenen Würfeln eine Augensumme von mindestens $16$ zu erreichen. Wenn die Aufgabe aber lautet, eine Augensumme von mindestens 5 zu erreichen, ist wieder die Gegenwahrscheinlichkeit der Sieger! An diesem einfachen Beisiel wird leicht klar, dass ab irgendeiner Zahl der bessere zum schlechteren Weg wird und umgekehrt.

-Wolfgang-

14:10 Uhr, 03.04.2016

Hallo,

>Was -Wolfgang- hier schreibt, ist grober Unfug! Man muss stets abwägen, ob das Gegenereignis >mit weniger Aufwand zu erreichen ist oder nicht (siehe Beitrag cositan). Als einfaches >Beispiel, dass -Wolfgang- hier irrt, ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei gleichzeitig >geworfenen Würfeln eine Augensumme von mindestens $16$ zu erreichen.

Das "Herz-As-Beispiel" von Cositan hat mit der Form P"...mindestens ein.." für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses genauso wenig zu tun wie Bummerangs "einfaches Gegenbeispiel". $[$ P("mindestens ein Augensumme $10]$ ? Was soll der Quatsch?

Nicht alles, was Bummerang nicht versteht, ist - im Gegensatz zu dem , was er schreibt - "grober Unfug"

Deshalb muss ich Obiges als eine der üblichen Pöbeleien von Bummerang zurückweisen.

Die von mir angegebene Faustregel ist natürlich nicht der einzige Fall, bei dem man einfacher mit dem Gegenereignis rechnet (und darauf beziehen sich Cositans Ausführungen).
das habe ich aber auch nicht behauptet! (Hätte es aber zugegebenermaßen erwähnen sollen)

Wolfgang

Bummerang

14:58 Uhr, 03.04.2016

Hallo -Wolfgang-,

"Die von mir angegebene Faustregel ist natürlich nicht der einzige Fall, bei dem man einfacher mit dem Gegenereignis rechnet (und darauf beziehen sich Cositans Ausführungen).
das habe ich aber auch nicht behauptet! (Hätte es aber zugegebenermaßen erwähnen sollen)"

Nur zur Erinnerung: "immer wenn du eine Wahrscheinllichkeit der Form P("mindestens ein ...") ausrechnen musst, ist es wesentlich einfacher, mit der Wahrscheinlichtkeit des Gegenereignisses "kein ..." zu rechnen"

Da steht, dass es IMMER WESENTLICH EINFACHER IST, MIT DER WAHRSCHEINLICHKEIT DES GEGENEREIGNISSES ZU RECHNEN ! Das habe ich entgegen Deinen Worten sehr wohl verstanden und auch wenn ich es noch tausend Mallese, es ist und bleibt grober Unfug!

"Das "Herz-As-Beispiel" von Cositan hat mit der Form P"...mindestens ein.." für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses genauso wenig zu tun wie Bummerangs "einfaches Gegenbeispiel". $[$ P("mindestens ein Augensumme $10]$ ? Was soll der Quatsch?"

Sorry, dass bei mir steht, dass es "mindestens eine Augensumme von 16" (nicht $10!)$ ergeben soll, "Augensumme"ist halt weiblich. Für Dich formuliere ich um: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Ergebnis von $16$ bei der Augensumme zu erreichen?" Jetzt sollte auch Dir klar sein, dass allein die Formulierung "mindestens ein" nicht das Gegenereignis zum leichter zu berechnenden Ereignis macht!

Den Rest Deines Postes rechne ich unter "Frustabbau durch Pöbeleien ab!"

Roman-22

16:06 Uhr, 03.04.2016

Wäre ich Soziloge, hätte ich sicher meine Freude an solchen Diskussionen, aber so $. .$ .

@Ozymandias
$>$ Noch ganz kurz: kann man in einem Satz, oder wenigen Sätzen ("explain it like I'm 5"
Nun, cositan hat es zwar nicht mit wenigen Sätzen getan, es aber mit ihrer Antwort präzise und ich denke auch sehr verständlich und nachvollziehbar auf den Punkt gebracht.

$> ...)$ darlegen, warum man hier zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen muß, was ist das allgemeine Prinzip ?
Wenn du cositans Beitrag liest, erkennst du zweierlei:
$1)$ Man MUSS (auch bei deiner Aufgabe) NICHT mit der Gegenwahrscheinlichkeit arbeiten, es ist nur manchmal einfacher, sie zu verwenden.
$2)$ Das allgemeine Prinzip heißt Nachdenken und im individuellen Einzelfall jedes Mal aufs Neue entscheiden, welcher Weg der günstigere sein könnte.
Es kann nicht schaden, bei der Formulierung "mindestens.." auch an die Gegenwahrscheinlichkeit zu denken - den Reflex, sie in diesem Fall automatisch zu verwenden, sollte man aber unterdrücken. Man wird sich $i . W$ . immer überlegen, bei welchem Ansatz weniger Fälle zu berücksichtigen sind. Bei deiner Aufgabe mussten wir beim Gegenereignis nur einen einzigen Fall (alle Karten $\geq 3)$ berücksichtigen, ohne Gegenereignis gibt es sieben Möglichkeiten, die sich aber immerhin in drei Gruppen (je nach Anzahl der Low-Cards unter den drei gewählten) mit jeweils gleicher WKT zusammenfassen lassen - siehe nachstehend.

Zur Verdeutlichung deine Aufgabe ohne Gegenwahrscheinlichkeit gelöst:
Damit mindestens eine Low-Card $(A - 2 - 3)$ bei der Wahl von drei Karten dabei ist, gibt es drei wesentlich unterschiedliche Fälle:
$1)$ Eine Karte ist eine Low-Card, die anderen beiden nicht. Dafür gibt es drei Möglichkeiten, je nachdem, ob die erste, zweite oder dritte Karte die Low-Card ist.
Die Wahrscheinlichkeit etwa für High-Low-High ist $\frac{40}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{39}{50}$ . Man überlegt sich leicht, dass für die anderen beiden Fälle $(L - H - H$ und $H - H - L)$ nur die Reihenfolge der Zähler vertauscht ist, die WKT daher die gleiche ist $\to$ also mal 3.
$2)$ Eine Karte ist High. die beiden anderen Low. Auch hier gibts wieder drei Möglichkeiten je nach Position der High-Card und auch deren WKT ist jeweils die gleiche, nämlich $\frac{40}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{11}{50}$ .
$3)$ Alle drei Karten sind Low-Cards. Die WKT dafür ist natürlich $\frac{12}{52} \cdot \frac{11}{51} \cdot \frac{10}{50}$

Nun müssen wir nur noch die Wahrscheinlichkeiten der drei Fälle addieren und haben ebenfalls die Aufgabe gelöst:
$P = 3 \cdot \frac{40}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{39}{50} + 3 \cdot \frac{40}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{11}{50} + \frac{40}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{11}{50} = \frac{47}{85} \approx 55,29 %$

Der Vergleich macht aber schnell klar, dass die Verwendung des Gegenereignisses hier günstiger und einfacher war.

$R$

-Wolfgang-

17:25 Uhr, 03.04.2016

@Bummerang

$>$ "mindestens eine Augensumme von 16"

Auch dass hat mit meiner Antwort nicht zu tun, dort ist ausdrücklich P("kein...") als Gegenereignis genannt, bei dir wäre das also P"keine Augensumme von 16" (??) , was natürlich tatsächlich "grober Unfug" wäre. (Ein gewisses Maß an Mitdenken erwarte ich schon!)

Aber jetzt wird mir die Diskussion - oder was du dafür hältst - zu blöd, obwohl 'Therapeut' schon ein Berufsbild wäre, das mich interessieren könnte.

Ende der Durchsage

$W$

Bummerang

08:56 Uhr, 04.04.2016

Hallo -Wolfgang-,

Deiner Argumentation zu folge muss für Dich das Gegenereignis immer mit "kein" beginnen. Dann lass Dir gesagt sein, dass das mindestens genau so grober Unfug ist, wie Deine frühere Behauptung, dass "mindestens ein" immer dazu führen würde, dass man die Gegenwahrscheinlichkeit leichter berechnen kann. Das Gegenereignis ist natürlich IMMER mittels logischer Negation des Ereignisses zu ermitteln. So hat doch alles sein gutes: Du hast mal wieder was gelernt! Und falls Du es jetzt nicht erst gelernt hast, stellt sich natürlich die Frage, was Du mit dieser unsinnigen Argumentation erreichen wolltest, ausser zu provozieren und zu pöbeln!

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 04.04.2016

Hallo,

jetzt hole ich noch den linguistischen Hammer heraus und weise auf den semantischen Unterschied hin:

- mindestens eins aus ein endlichen Menge, Verneinung: keins aus diese Menge
- mindestens ein bestimmter Wert, Verneinung: weniger als dieser Wert.

Auch das kann als Orientierung über die Verwendbarkeit des Gegenereignisses dienen.

Letztlich hilf nur Denken - wie in der Diskussion schon gesagt.

Gruß pwm

Ozymandias aktiv_icon

17:47 Uhr, 04.04.2016

Wow $. .$ . sehr vielen Dank an euch alle, erstens für die Hilfe bei meiner Aufgabe (wird mir deshalb helfen, weil am Pokertisch ein Mitspieler dies immer gern als Side-Bet machen möchte, und er will immer auf "mindestens ein As oder Zwei oder Drei" setzen $. .$ . jetzt ist klar, warum ;-) und zweitens für die sehr lebhafte Diskussion zu meiner allgemeinen Frage. Das Forum fragt mich, ob die Frage jetzt beantwortet ist, was ich nun angeklickt habe; ich hoffe, daß danach trotzdem noch Posts möglich sind (?!), da der letzte Beitrag erst vor $10$ Minuten eintraf :-)

Bummerang

17:51 Uhr, 04.04.2016

Hallo pwmeyer,

wobei ich da einen qualitativ riesigen Unterschied zwischen Deiner Formulierung "mindestens eins" und der von mir kritisierten Formulierung "mindestens ein" sehe, auch wenn der quantitative Unterschied mit dem einen "s" sehr gering ist! Aber wie wichtig so ein Buchstabe sein kann, wissen alle, die einen Schweisserpass besitzen...

1299199

1298787

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?