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Wahrscheinlichkeit berechnen

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Mathematikus20 aktiv_icon

20:16 Uhr, 13.01.2017

Hallo zusammen,
ich habe Probleme beim Lösen folgender Aufgabe:
Ein Spieler hat zu Beginn des Spiels 2€. Er setzt nun diese 2€ und würfelt mit einem sechsseitigen Spielwürfel. Er gewinnt bei ,,Eins'' und ,,Sechs'' das Doppelte seines Einsatzes, ansonsten verliert er ihn.
Hat er gewonnen, so kann er weiterspielen und so lange jeweils 2€ setzen, bis er entweder alles verloren oder den maximalen Gewinn von 6€ erreicht hat.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände nach 2, 4 und 6 Spielzügen.
c) Um dieses Spiel zu simulieren, wird ein Zufallsgenerator verwendet. Bei diesem Zufallsgenerator können die Übergangswahrscheinlichkeiten durch die Matrix M variabel eingegeben werden. Diese Matrix sieht dann so aus:
M=\left(\begin{eqnarray}
1 & a & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & 0 \\
0 & 1-a & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1-a & 1
\end{eqnarray}\right)

Bestimmen Sie wie groß a sein muss, damit auch nach zwei Spielzügen die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (entspricht dem Zustand 6€) noch bei mindestens 50% liegt.

Das Prozessdiagramm zu zeichnen war kein Problem.
Allerdings verstehe ich nicht, warum bei b) nach der Wahrscheinlichkeit der Zustände nach 2,4 und 6 Spielzügen gefragt ist. Es können doch nur maximal 3 Spielzüge gespielt werden, wenn man maximal 6€ gewinnen kann oder nicht?
und bei c) bin ich leider total überfragt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

21:51 Uhr, 13.01.2017

"Allerdings verstehe ich nicht, warum bei

b)

nach der Wahrscheinlichkeit der Zustände nach

2,4

und 6 Spielzügen gefragt ist. Es können doch nur maximal 3 Spielzüge gespielt werden, wenn man maximal 6€ gewinnen kann oder nicht?"

Da irrst du dich. Beispiel:

Er hat 2 EUR.
1. Zug: Er setzt 2 EUR. Er gewinnt. Er hat 4 EUR.
2. Zug: Er setzt 2 EUR. Er verliert. Er hat 2 EUR.
3. Zug: Er setzt 2 EUR. Er gewinnt. Er hat 4 EUR.
4. Zug: Er setzt 2 EUR. Er verliert. Er hat 2 EUR.
5. Zug: Er setzt 2 EUR. Er gewinnt. Er hat 4 EUR.
6. Zug: Er setzt 2 EUR. Er gewinnt. Er hat 6 EUR.
Er hat den maximalen Gewinn erreicht. Spielende.

Du siehst hoffentlich nun, dass es durchaus auch 6 Spielzüge (oder mehr) geben kann, wenn er abwechselnd gewinnt und verliert.

\\\\

Zu

c)

. Es gibt die folgenden vier Zustände:

X_{1} :

Er hat 0 EUR.

X_{2} :

Er hat 2 EUR.

X_{3} :

Er hat 4 EUR.

X_{4} :

Er hat 6 EUR.

Wenn er im Zustand

X_{1}

ist, ist das Spiel für ihn beendet. Er bleibt also für alle Zeit im Zustand

X_{1}

.
Das bedeutet, es soll gelten:

M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Daher muss die erste Spalte der Matrix

M

gleich

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

sein.

Wenn er im Zustand

X_{2}

ist, hat er 2 EUR.
Er kann nun mit einer Wahrscheinlichkeit

a

verlieren und hat dann 0 EUR, landet also mit einer Wahrscheinlichkeit

a

im Zustand

X_{1}

.
Er kann aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit

1 - a

gewinnen und hat dann 4 EUR, landet also mit einer Wahrscheinlichkeit

1 - a

im Zustand

X_{3}

.
Das bedeutet, es soll gelten:

M \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ 0 \\ 1 - a \\ 0 \end{matrix})

Daher muss die zweite Spalte der Matrix

M

gleich

(\begin{matrix} a \\ 0 \\ 1 - a \\ 0 \end{matrix})

sein.

Diese Überlegungen kann man noch weiterführen, um auf die dritte und vierte Spalte der Matrix zu kommen.

M = (\begin{matrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 1 - a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - a & 1 \end{matrix})

Soweit nachvollziehbar?

Bei einem fairen Würfel, wäre, bezogen auf das Spiel, die Wahrscheinlichkeit

a

in einem Zug zu verlieren gleich

\frac{4}{6}

. Warum jetzt

a

variabel gelassen wurde, kann ich nicht direkt nachvollziehen. Evtl. für andere Spielvariationen oder für gezinkte Würfel.

Jedenfalls soll nach zwei Spielzügen die Wahrscheinlichkeit im Zustand

X_{4}

(Er hat 6 EUR) zu landen mindesten

50 %

betragen. Zu Beginn ist er im Zustand

X_{2}

(Er hat 2 EUR).

Berechne also

(\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \\ q_{4} \end{matrix}) := M^{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und untersuche für welche Werte

a \in [0, 1]

dann

q_{4} \geq 0,5

ist.

\\\\

Achtung: Es kann sein, dass der Aufgabensteller die Reihenfolge der Zustände anders herum definiert hat also ich, also:

X_{1} :

Er hat 6 EUR.

X_{2} :

Er hat 4 EUR.

X_{3} :

Er hat 2 EUR.

X_{4} :

Er hat 0 EUR.

Das geht nicht eindeutig aus der Aufgabenstellung in deinem Beitrag hervor.

[

Evtl. wurde das in Teilaufgabe

a)

geklärt, welche du hier jedoch leider nicht angegeben hast.

]

Anstatt zu untersuchen, wann

q_{4} \geq 0,5

ist, müsste dann untersucht werden, wann

q_{1} \geq 0,5

ist.

Mathematikus20 aktiv_icon

13:09 Uhr, 14.01.2017

Erst einmal vielen Dank für deine Hilfe!
Ich habe soweit alles verstanden!
Allerdings habe ich bei

b)

Schwierigkeiten die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen! Müssen diese rekursiv berechnet werden?

mihisu aktiv_icon

15:34 Uhr, 14.01.2017

Ich bezeichne im Folgenden die Wahrscheinlichkeit nach dem

n

-ten Zug im Zustand

X_{k}

zu sein mit

p_{n} (X_{k})

.

Und ich führe die folgende Bezeichnung ein:

p_{n} (X) = (\begin{matrix} p_{n} (X_{1}) \\ p_{n} (X_{2}) \\ p_{n} (X_{3}) \\ p_{n} (X_{4}) \end{matrix})

\\\\

Ich weiß nicht ganz, was du mit "rekursiv berechnet" hier meinst. Ich glaube du meinst sowas:

Man kann sich überlegen, dass wenn er nur im Zustand

X_{2}

(Er hat 2 EUR.) bzw. im Zustand

X_{4}

(Er hat 4 EUR.) weiterspielen kann. Wenn er nach dem

n

-ten Zug im Zustand

X_{2}

ist, kann er mit der Wahrscheinlichkeit

\frac{4}{6}

verlieren, was die Wahrscheinlichkeit im Zustand

X_{1}

zu landen um

\frac{4}{6}

mal der Wahrscheinlichkeit im Zustand

X_{2}

gewesen zu sein erhöht. Oder er kann mit wahrscheinlichkeit

\frac{2}{6}

gewinnen, was die Wahrscheinlichkeit im

(n + 1)

-ten Zug im Zustand

X_{3}

zu landen beeinflusst. Analoge Überlegungen kann man dafür anstellen, wenn er zuvor im Zustand

X_{3}

war. Wenn er zuvor im Zustand

X_{1}

bzw.

X_{4}

war, so bleibt er in dem Zustand. Es ergibt sich:

p_{n + 1} (X_{1}) = p_{n} (X_{1}) + \frac{4}{6} \cdot p_{n} (X_{2})

p_{n + 1} (X_{2}) = \frac{4}{6} \cdot p_{n} (X_{3})

p_{n + 1} (X_{3}) = \frac{2}{6} \cdot p_{n} (X_{2})

p_{n + 1} (X_{4}) = p_{n} (X_{4}) + \frac{2}{6} \cdot p_{n} (X_{3})

Wobei er zu Beginn im Zustand

X_{2}

(Er hat 2 EUR.) ist:

p_{0} (X_{1}) = 0

p_{0} (X_{2}) = 1

p_{0} (X_{3}) = 0

p_{0} (X_{4}) = 0

Diese Überlegungen hast du wahrscheinlich sowieso schon in Teilaufgabe

a)

angestellt (welche du leider nicht angegeben hast).

Nun kann man diese Formeln benutzen um aus

p_{0} (X_{1}), p_{0} (X_{2}), p_{0} (X_{3}), p_{0} (X_{4})

zunächst

p_{1} (X_{1}), p_{1} (X_{2}), p_{1} (X_{3}), p_{1} (X_{4})

auszurechnen, dann daraus

p_{2} (X_{1}), p_{2} (X_{2}), p_{2} (X_{3}), p_{2} (X_{4})

auszurechnen,

...

Das meinst du wahrscheinlich, oder?
Ja, so kann man das machen.

\\\\

Eine andere Art dass auszurechnen ist über Matrixmultiplikation:
(Naja, im Grunde rechnet man das gleiche nur in einer anderen Form.)

Die Rekursionsformeln kann man auch in der folgenden Form schreiben:

(\begin{matrix} p_{n + 1} (X_{1}) \\ p_{n + 1} (X_{2}) \\ p_{n + 1} (X_{3}) \\ p_{n + 1} (X_{4}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & \frac{4}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{6} & 0 \\ 0 & \frac{2}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{6} & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} p_{n} (X_{1}) \\ p_{n} (X_{2}) \\ p_{n} (X_{3}) \\ p_{n} (X_{4}) \end{matrix})

Also hat man:

p_{n + 1} (X) = M \cdot p_{n} (X)

p_{n} (X) = M^{n} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Dabei ist

M

die in

c)

angegebene Matrix für

a = \frac{4}{6}

.

Also kannst du

M^{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

M^{4} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

M^{6} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ausrechnen.

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