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Wahrscheinlichkeit berechnen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

jumpbayern aktiv_icon

13:51 Uhr, 26.05.2011

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe und weiß überhaupt keinen Ansatz dazu.
Sie lautet:
An einer Schule werden insgesamt 1000 Schüler unterrichtet. Jeder hat an einem der 365 Tage des Jahres Geburtstag. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an jedem Tag des Jahres mindestens ein Schüler der Schule Geburtstag hat. (Hinweis: Berechnen sie zunächst die Anzahl der surjektiven Abbildungen

{1, . . ., 1000} \to {1, . . ., 365}

. Das Ergebnis darf Stirlingzahlen enthalten, die nicht ausgerechnet werden müssen.)

Kann mir jemand sage nwie ich da vorgehen muss??

Vielen Dank.

Kann mir denn gar keine helfen bei der Aufgabe? :-( :-(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

nieaufgeber aktiv_icon

22:59 Uhr, 30.05.2011

Solche Fragen werden normalerweise von "Bummerang" beantwortet, du kannst den Link zu deiner Frage direkt zu ihm schicken,

http//www.onlinemathe.de/user/profil/Bummerang

jumpbayern aktiv_icon

07:38 Uhr, 31.05.2011

Hallo,

und wie kann ich ihm den Link schicken? Habe auf seinem Profil nichst dazu gesehn?

Sonst keiner hier der mir dabei helfen könnte? Ich brauch die Lösung bis morgen früh!!!!!!!!! :-(

Gerd30.1 aktiv_icon

10:01 Uhr, 31.05.2011

Sei

X_{1.1 .}

die Zufallsvariable, dei angibt, wieviel am

1.1

. Geburtstag haben. Dann ist

P (X_{1.1 .} > 0) = 1 - P (X_{1.1 .} = 0) = 1 - (\begin{matrix} 1000 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{365})}^{0} \cdot {(\frac{364}{365})}^{1000} = 0,935654349

jumpbayern aktiv_icon

10:06 Uhr, 31.05.2011

Hallo,

danke für die Antwort.

Mh so ganz versteh ich das Ergebnis nicht. Ist das jetzt schon das Endergebnis? Oder wie müsste ich dann weitermachen?

Gerd30.1 aktiv_icon

10:09 Uhr, 31.05.2011

Das ist natürlich erst der Anfang!! Wir müssen jetzt weiter überlegen!!

jumpbayern aktiv_icon

10:10 Uhr, 31.05.2011

Ja aber wie gehts dann weiter?

nieaufgeber aktiv_icon

10:25 Uhr, 31.05.2011

dann bleiben

n = 999

und

364

Tage

(p = \frac{1}{364})

übrig für

2.1

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)

jumpbayern aktiv_icon

10:30 Uhr, 31.05.2011

Ja ok,

aber es muss doch noch ne andere Möglichkeit geben als das dann für alle 365 Tage durchrechnen zu müssen, oder?

nieaufgeber aktiv_icon

10:41 Uhr, 31.05.2011

man muss nun eine passende Summe Bilden, (vielleciht so!):

$P = 365 - \sum_{0}^{365} (\begin{matrix} 1000 - n \\ 0 \end{matrix}) * {(\frac{1}{365 - n})}^{0} * {(1 - \frac{1}{365 - n})}^{1000 - n} = 365 - {\sum_{0}^{365} (1 - \frac{1}{365 - n})}^{1000 - n}$

oder meint ihr, man muss die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren?

Cmacuk aktiv_icon

11:03 Uhr, 31.05.2011

teilst du nicht am ende durch 0?

du gehst von 0 bis

365

und damit machst du

366

schritte.

die summe müsste eigentlich bis

364

gehen oder nicht?

sonst bekommst du kein ergebnis bzw ein error da du durch 0 teilst.

das ergebnis wäre

357,9114219,

sprich

35791,14 %

. DIese Warscheinlichkeit ist bisschen zu hoch oder?

Gerd30.1 aktiv_icon

11:10 Uhr, 31.05.2011

Sei

X_{1.1 .}

die Zufallsvariable, dei angibt, wieviel am

1.1

. Geburtstag haben. Dann ist

P (X_{1.1 .} > 0) = 1 - P (X_{1.1 .} = 0) = 1 - (\begin{matrix} 1000 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{365})}^{0} \cdot {(\frac{364}{365})}^{1000} = 0,935654349

Für

2.1

: P (X_{2.1 .} > 0) = 1 - (\begin{matrix} 999 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{364})}^{0} \cdot {(\frac{363}{364})}^{999} = 0.935477576

und wenn für

P (X_{1.1 .} > 0 \land X_{2.1 .} > 0)) = P (X_{1.1 .} > 0) \cdot P (X_{2.1 .} > 0) = 0.875283663,

dann
kommt für das Produkt

Π_{i = 1}^{365} (1 - P (X_{i} > 0)) = 2.17109 \cdot 10^{- 19}

(mit EXCEL) heraus??!!

Cmacuk aktiv_icon

11:47 Uhr, 31.05.2011

Die erste Variante mit dem Summen-zeichen ist schon richtig, weil die ganze ergebnisse addiert werden müssen.

Da rechnet er die 365 minus die Summe. die Summe sollte aber von 0 bis 364 gehen, weil man sonst 366 Tage haben würde.

Doch wenn man die erste Variante durchführt, kommt -1 heraus.
deine Formel ist demnach falsch.

nieaufgeber aktiv_icon

11:54 Uhr, 31.05.2011

mit dem Faktor erhalte ich 0,000717

Cmacuk aktiv_icon

11:59 Uhr, 31.05.2011

Warum nimmst du nicht das Summen zeichen, sondern das Produktzeichen?

nieaufgeber aktiv_icon

12:03 Uhr, 31.05.2011

da alle Ereignisse zusammen geschehen müssen, also E1 und E2 und etc.

Außerdem erhält man mit dem Summen-Zeichnen eine W. viel größer als 1!

Cmacuk aktiv_icon

12:23 Uhr, 31.05.2011

Stimmt, du hast recht.

kannst du uns bei dieser aufgabe auch behilflich sein?

Es wird mit einem Würfel zwei mal nacheinander gewürfelt. Ergebnisraum ist die Menge \Omega = {1,2,...,6}². Sei P die Gleichverteilung auf \Omega . Sei X die Zufallsveriable "Summe der beiden Augenzahlen", also X(i,j) = i+j. Finden und beweisen Sie eine expizite Formel, mit der man P(X=k) für jedes k \el {2,...,12} berechnen kann.

nieaufgeber aktiv_icon

12:48 Uhr, 31.05.2011

$P (X = 2) = 1 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 3) = 2 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 4) = 3 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 5) = 4 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 6) = 5 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 7) = 6 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 8) = 5 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 9) = 4 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 10) = 3 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 11) = 2 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

$P (X = 12) = 1 * \frac{1}{6} * \frac{1}{6}$

Nun musst du eine Formel bilden (Kombination), die die Koeffizienten (1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1) beschreibt! Da 1/6*1/6 unverändert bleibt.

Gerd30.1 aktiv_icon

12:54 Uhr, 31.05.2011

P (X = k) = \frac{6 - | k - 7 |}{36}

Cmacuk aktiv_icon

13:00 Uhr, 31.05.2011

wir danken dir für deine hilfe.

baba2k aktiv_icon

15:24 Uhr, 31.05.2011

Hallo,

bin durch zufall hierher gekommen, kann aber den Lösungsansatz nicht
richtig Verstehen und vorallem warum das Produktzeichen verwendet werden muss.
Habe die Gleichung von nieaufgeber mal bei Wolfram eingetippt, jedoch kommt nix raus...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=product+1-%281-1%2F%28365-k%29%29^%281000-k%29+%2C+i%3D0+to+364

mfg Basti

Oder hab ich mich verwirren lassen?

Cmacuk aktiv_icon

15:30 Uhr, 31.05.2011

du hast einen fehler beim eintippen gehabt.

so sollte es eigentlich aussehen.

http://www.wolframalpha.com/input/?_=1306848437077&fp=1&i=product+1-(1-1%2f(365-i))%5e(1000-i)+%2c+i%3d0+to+364&incTime=true

baba2k aktiv_icon

15:38 Uhr, 31.05.2011

uff, sehr peinlich... danke :-)

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