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Wahrscheinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geb

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Geburtstagsparadoxon, Schaltjahr, Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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anonymous

anonymous

13:24 Uhr, 26.11.2021

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Wahrscheinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geburtstag wenn jedes 4. Jahr ein Schaltjahr ist?

Hallo zusammen,

die Wahrschinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geburstag haben (ohne Schaltjahre zu berücksichtigen) wäre ja für n Personen:

1-365!365n(365-n) also 1-p, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.

Wie wäre denn jetzt die Wahrscheinlichkeit, wenn man berücksichtigt, dass jedes 4. Jahr ein Schaltjahr ist?

Die Wahrscheinlichkeit im Schaltjahr geboren zu werden ist ja 3661461 da (3653+3661=1461 Tage sind) - aber wie gehts dann weiter?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
Roman-22

Roman-22

14:50 Uhr, 26.11.2021

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Du meinst hoffentlich 365n in deiner Formel, nicht 365n und auch (365-n)! und nicht bloß (365-n).

Berücksichtigung des 29.2. macht die Sache sicher deutlich schwieriger, ohne am Ergebnis Wesentliches zu ändern.
Man müsste ja auch berücksichtigen, dass nicht jedes vierte Jahr ein Schaltjahr ist, aber auch nicht jedes hundertste Jahr eins ausgelassen wird, etc.
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HAL9000

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15:01 Uhr, 26.11.2021

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> Man müsste ja auch berücksichtigen, dass nicht jedes vierte Jahr ein Schaltjahr ist, aber auch nicht jedes hundertste Jahr eins ausgelassen wird, etc.

Es ist davon ausgehen, dass ALLE momentan auf der Welt lebenden Personen NICHT in einem der gregorianischen Ausnahmejahre (das bisher letzte war 1900, das nächste ist 2100) geboren sind:

de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_%C3%A4ltesten_Menschen :-)

Von daher würde ich aktuell ruhigen Gewissens mit der Vereinfachung "alle 4 Jahre ein Schaltjahr" rechnen.
anonymous

anonymous

15:06 Uhr, 26.11.2021

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ja, sorry, hatte mich bei der ursprünglichen Formel vertippt ;-)

Laut Aufgabenstellung sollen wir damit rechnen, dass GENAU JEDES 4. Jahr ein Schaltjahr ist. Das mit den alle 100 Jahre ist hierbei zu vernachlässigen.. dennoch weiß ich jetzt nach wie vor nicht, wie die ursprüngliche Formel auf diesen Schaltjahr-Fall anzuwenden ist ;-)
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HAL9000

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15:31 Uhr, 26.11.2021

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Sei pk die Wahrscheinlichkeit, dass genau k von n Leuten am 29.2. Geburtstag haben UND keine zwei von diesen n Leuten denselben Geburtstag haben. Dann suchen wir hier 1-p0-p1.

p0=14601461145614611464-4n1461=365!365.25n(365-n)!

p1=14601461145614611468-4n146111461n=365!n4365.25n(366-n)!,

Summa summarum also 1-365!365.25n(366-n)!(366-34n), gültig für alle 1n366.

anonymous

anonymous

15:57 Uhr, 26.11.2021

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danke bereits für deine Antwort.

P0 kann ich soweit nachvollziehen, P1 jedoch leider gar nicht. weshalb 1468? Könntest du mir den Teil bitte nochmal erklären? Also den Teil nach ... bis zum =

Tausend Dank!!
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HAL9000

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16:13 Uhr, 26.11.2021

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Es werden da (n-1) Leute betrachtet, die an einem Nicht-Schalttag Geburtstag haben.
Das läuft auf Zählerwerte 1460-4k für k=0,1,,n-2 hinaus. Der letzte dieser Werte ist nun mal 1460-4(n-2)=1468-4n=4(367-n) .

Ich hätte eher eine Frage nach dem abschließenden Faktor n dort erwartet: Der rührt daher, dass das eine Schalttag-Geburtstagskind ja auf jeder der n Personenpositionen 1n liegen kann.

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Roman-22

Roman-22

17:07 Uhr, 26.11.2021

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Mich irritieren bei HAL9000s Zusammenfassung die 136525n.
Sollte das nicht vielmehr 4n1461n sein?

Also p0=k=1n1464-4k1461=k=1n4(366-k)1461=4n365!1461n(365-n)!

EDIT: Alles klar! Hatte den Dezimalpunkt irrtümlich für ein Multiplikationszeichen gelesen.
Da es sich hier um ein deutschsprachiges Forum handelt, wird offenbar 365.25n
typografisch nicht so klar dargestellt wie 365,25n

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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

17:37 Uhr, 26.11.2021

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Wenn ich eins nicht leiden kann, dann sind das unterstellte Formelverfälschungen: Ich habe NICHT 136525n geschrieben, sondern 1365.25n, also im Sinne 365.25=14614. Ich habe bewusst 365.25 statt dem Bruch geschrieben, um die Nähe der Formel zu der ohne Schalttage deutlich zu machen.

EDIT: Bescheuertes Onlinemathe-LaTeX, welches zuviel Platz nach dem Dezimalpunkt lässt - da werde ich wohl künftig ein \! einfügen müssen...


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Roman-22

Roman-22

17:58 Uhr, 26.11.2021

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> Wenn ich eins nicht leiden kann, dann sind das unterstellte Formelverfälschungen
Entschuldige bitte, ich hatte wohl kurz vergessen, dass du unfehlbar bist. *kopfschüttel*
Da ich ja weiß, dass du unglaublich zart besaitet bist, wenn du auch nur den Hauch einer Kritik zu verspüren glaubst, habe ich ja bewusst sehr vorsichtig mit "Mich irritieren ..." formuliert.
Abgesehen davon hatte ich meinen Beitrag ja schon lang vor deiner Antwort editiert und klargestellt, dass ich eben deinen Dezimalpunkt irrtümlich als Multiplikationszeichen gelesen hatte.

> da werde ich wohl künftig ein \! einfügen müssen...
...oder einfach das in unseren Breiten übliche Dezimalkomma benutzen. ;-)


Antwort
HAL9000

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20:15 Uhr, 26.11.2021

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> Entschuldige bitte, ich hatte wohl kurz vergessen, dass du unfehlbar bist. *kopfschüttel*

Schade, ich hatte dich eigentlich für einen verständigen Menschen gehalten. Dass du jetzt hier trotz eigenem initialen Fehlverhalten in unablässiger Weise nachtrittst, und auch noch als der große Belehrer auftrittst, ist für mich schon ziemlich enttäuschend.

> Abgesehen davon hatte ich meinen Beitrag ja schon lang vor deiner Antwort editiert und klargestellt,

Geschätzt eine Minute (oder evtl. sogar nacheditiert) nennst du "lang" ?
anonymous

anonymous

20:23 Uhr, 26.11.2021

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Vielen Dank euch.

Dennoch verstehe ich nicht so ganz, woher aus P1 diese 366-34n folgen?

danke!
anonymous

anonymous

20:24 Uhr, 26.11.2021

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.. und müsste das was aus P0 folgt im Nenner nicht heißen (365-n)! anstatt (366-n)!..? so wie du es in der ersten Zeile bei P0 auch stehen hast.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

20:26 Uhr, 26.11.2021

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Einfach aus beiden Summanden 365!365.25n(366-n)! ausklammern, das ergibt

p0=365!365.25n(366-n)!(366-n) sowie p1=365!365.25n(366-n)!n4.

Und das ergibt p0+p1=365!365.25n(366-n)!(366-n+n4) .

An ein bisschen Fakultätsarithmetik, oder sollte ich sagen -akrobatik basierend auf m!=m(m-1)! (hier für m=366-n) sollte man schon denken.