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Wahrscheinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geb

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Geburtstagsparadoxon, Schaltjahr, Wahrscheinlichkeitsmaß

anonymous

13:24 Uhr, 26.11.2021

Wahrscheinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geburtstag wenn jedes 4. Jahr ein Schaltjahr ist?

Hallo zusammen,

die Wahrschinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geburstag haben (ohne Schaltjahre zu berücksichtigen) wäre ja für

n

Personen:

1 - \frac{365!}{365 n \cdot (365 - n)}

also

1 - p,

dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.

Wie wäre denn jetzt die Wahrscheinlichkeit, wenn man berücksichtigt, dass jedes 4. Jahr ein Schaltjahr ist?

Die Wahrscheinlichkeit im Schaltjahr geboren zu werden ist ja

\frac{366}{1461}

(365 \cdot 3 + 366 \cdot 1 = 1461

Tage sind) - aber wie gehts dann weiter?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

14:50 Uhr, 26.11.2021

Du meinst hoffentlich

365^{n}

in deiner Formel, nicht

365 n

und auch

(365 - n)!

und nicht bloß

(365 - n)

.

Berücksichtigung des

29.2

. macht die Sache sicher deutlich schwieriger, ohne am Ergebnis Wesentliches zu ändern.
Man müsste ja auch berücksichtigen, dass nicht jedes vierte Jahr ein Schaltjahr ist, aber auch nicht jedes hundertste Jahr eins ausgelassen wird, etc.

HAL9000

15:01 Uhr, 26.11.2021

> Man müsste ja auch berücksichtigen, dass nicht jedes vierte Jahr ein Schaltjahr ist, aber auch nicht jedes hundertste Jahr eins ausgelassen wird, etc.

Es ist davon ausgehen, dass ALLE momentan auf der Welt lebenden Personen NICHT in einem der gregorianischen Ausnahmejahre (das bisher letzte war 1900, das nächste ist 2100) geboren sind:

de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_%C3%A4ltesten_Menschen :-)

Von daher würde ich aktuell ruhigen Gewissens mit der Vereinfachung "alle 4 Jahre ein Schaltjahr" rechnen.

anonymous

15:06 Uhr, 26.11.2021

ja, sorry, hatte mich bei der ursprünglichen Formel vertippt ;-)

Laut Aufgabenstellung sollen wir damit rechnen, dass GENAU JEDES 4. Jahr ein Schaltjahr ist. Das mit den alle

100

Jahre ist hierbei zu vernachlässigen.. dennoch weiß ich jetzt nach wie vor nicht, wie die ursprüngliche Formel auf diesen Schaltjahr-Fall anzuwenden ist ;-)

HAL9000

15:31 Uhr, 26.11.2021

Sei

p_{k}

die Wahrscheinlichkeit, dass genau

k

von

n

Leuten am 29.2. Geburtstag haben UND keine zwei von diesen

n

Leuten denselben Geburtstag haben. Dann suchen wir hier

1 - p_{0} - p_{1}

p_{0} = \frac{1460}{1461} \cdot \frac{1456}{1461} \cdot \dots \frac{1464 - 4 n}{1461} = \frac{365!}{365.2 5^{n} \cdot (365 - n)!}

p_{1} = \frac{1460}{1461} \cdot \frac{1456}{1461} \cdot \dots \frac{1468 - 4 n}{1461} \cdot \frac{1}{1461} \cdot n = \frac{365! \cdot n}{4 \cdot 365.2 5^{n} \cdot (366 - n)!}

,

Summa summarum also

1 - \frac{365!}{365.2 5^{n} \cdot (366 - n)!} (366 - \frac{3}{4} n)

, gültig für alle

1 \leq n \leq 366

anonymous

15:57 Uhr, 26.11.2021

danke bereits für deine Antwort.

P 0

kann ich soweit nachvollziehen,

P 1

jedoch leider gar nicht. weshalb

1468

? Könntest du mir den Teil bitte nochmal erklären? Also den Teil nach

. .

. bis zum =

Tausend Dank!!

HAL9000

16:13 Uhr, 26.11.2021

Es werden da

(n - 1)

Leute betrachtet, die an einem Nicht-Schalttag Geburtstag haben.
Das läuft auf Zählerwerte

1460 - 4 k

für

k = 0, 1, \dots, n - 2

hinaus. Der letzte dieser Werte ist nun mal

1460 - 4 (n - 2) = 1468 - 4 n = 4 (367 - n)

.

Ich hätte eher eine Frage nach dem abschließenden Faktor

n

dort erwartet: Der rührt daher, dass das eine Schalttag-Geburtstagskind ja auf jeder der

n

Personenpositionen

1 \dots n

liegen kann.

Roman-22

17:07 Uhr, 26.11.2021

Mich irritieren bei HAL9000s Zusammenfassung die

\frac{1}{365 \cdot 25^{n}}

.
Sollte das nicht vielmehr

\frac{4^{n}}{1461^{n}}

sein?

Also

p_{0} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1464 - 4 k}{1461} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{4 \cdot (366 - k)}{1461} = \frac{4^{n} \cdot 365!}{1461^{n} \cdot (365 - n)!}

EDIT: Alles klar! Hatte den Dezimalpunkt irrtümlich für ein Multiplikationszeichen gelesen.
Da es sich hier um ein deutschsprachiges Forum handelt, wird offenbar

365 . 25^{n}

typografisch nicht so klar dargestellt wie

{365,25}^{n}

HAL9000

17:37 Uhr, 26.11.2021

Wenn ich eins nicht leiden kann, dann sind das unterstellte Formelverfälschungen: Ich habe NICHT

\frac{1}{365 \cdot 2 5^{n}}

geschrieben, sondern

\frac{1}{365 . 2 5^{n}}

, also im Sinne

365 . 25 = \frac{1461}{4}

. Ich habe bewusst 365.25 statt dem Bruch geschrieben, um die Nähe der Formel zu der ohne Schalttage deutlich zu machen.

EDIT: Bescheuertes Onlinemathe-LaTeX, welches zuviel Platz nach dem Dezimalpunkt lässt - da werde ich wohl künftig ein \! einfügen müssen...

Roman-22

17:58 Uhr, 26.11.2021

>

Wenn ich eins nicht leiden kann, dann sind das unterstellte Formelverfälschungen
Entschuldige bitte, ich hatte wohl kurz vergessen, dass du unfehlbar bist. *kopfschüttel*
Da ich ja weiß, dass du unglaublich zart besaitet bist, wenn du auch nur den Hauch einer Kritik zu verspüren glaubst, habe ich ja bewusst sehr vorsichtig mit "Mich irritieren ..." formuliert.
Abgesehen davon hatte ich meinen Beitrag ja schon lang vor deiner Antwort editiert und klargestellt, dass ich eben deinen Dezimalpunkt irrtümlich als Multiplikationszeichen gelesen hatte.

>

da werde ich wohl künftig ein \! einfügen müssen...
...oder einfach das in unseren Breiten übliche Dezimalkomma benutzen. ;-)

HAL9000

20:15 Uhr, 26.11.2021

> Entschuldige bitte, ich hatte wohl kurz vergessen, dass du unfehlbar bist. *kopfschüttel*

Schade, ich hatte dich eigentlich für einen verständigen Menschen gehalten. Dass du jetzt hier trotz eigenem initialen Fehlverhalten in unablässiger Weise nachtrittst, und auch noch als der große Belehrer auftrittst, ist für mich schon ziemlich enttäuschend.

> Abgesehen davon hatte ich meinen Beitrag ja schon lang vor deiner Antwort editiert und klargestellt,

Geschätzt eine Minute (oder evtl. sogar nacheditiert) nennst du "lang" ?

anonymous

20:23 Uhr, 26.11.2021

Vielen Dank euch.

Dennoch verstehe ich nicht so ganz, woher aus

P 1

diese

366 - \frac{3}{4} n

folgen?

danke!

anonymous

20:24 Uhr, 26.11.2021

.. und müsste das was aus

P 0

folgt im Nenner nicht heißen

(365 - n)!

anstatt

(366 - n)! . .

? so wie du es in der ersten Zeile bei

P 0

auch stehen hast.

HAL9000

20:26 Uhr, 26.11.2021

Einfach aus beiden Summanden

\frac{365!}{365 . 2 5^{n} \cdot (366 - n)!}

ausklammern, das ergibt

p_{0} = \frac{365!}{365 . 2 5^{n} \cdot (366 - n)!} \cdot (366 - n)

sowie

p_{1} = \frac{365!}{365 . 2 5^{n} \cdot (366 - n)!} \cdot \frac{n}{4}

.

Und das ergibt

p_{0} + p_{1} = \frac{365!}{365 . 2 5^{n} \cdot (366 - n)!} \cdot (366 - n + \frac{n}{4})

.

An ein bisschen Fakultätsarithmetik, oder sollte ich sagen -akrobatik basierend auf

m! = m \cdot (m - 1)!

(hier für

m = 366 - n

) sollte man schon denken.

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