Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen

Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Taylor aktiv_icon

19:55 Uhr, 05.09.2015

Hi,

bei der Aufgabe komme ich auf keinen vernünftigen Ansatz:

Bei der Übertragung der Zeichen „Punkt“ und „Strich“ in einem Fernmeldesystem werden durch Störungen
im Mittel

5 %

der gesendeten Punkte als Striche und

6 %

der gesendeten Striche als Punkte empfangen.
Das Verhältnis von gesendeten Punkten zu gesendeten Strichen ist

\frac{4}{7}

.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen gesendet wurde, falls

a)

Punkt

b)

Strich
empfangen wurde?

Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar .

T

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

20:24 Uhr, 05.09.2015

Ich würde mir zunächst aufschreiben, was gegeben und gesucht ist.

Ich verwende folgende Bezeichnungen:

s P :

Punkt gesendet

s S :

Strich gesendet

e P :

Punkt empfangen

e S :

Strich empfangen

Gegeben:

P (e S | s P) = \frac{5}{100} \Rightarrow P (e P | s P) = \frac{95}{100}

P (e P | s S) = \frac{6}{100} \Rightarrow P (e S | s S) = \frac{94}{100}

\frac{P (s P)}{P (s S)} = \frac{4}{7}

Gesucht:

a) P (s S | e P)

b) P (s P | e S)

Dann fällt mir auf, dass du

P (e S | s P)

und

P (e P | s S)

gegeben hast, und

P (s S | e P)

und

P (s P | e S)

gesucht sind. Da hilft evtl. der Satz von Bayes.

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Bayes

Ich muss das allerdings selbst nachrechnen, ob das der richtige Ansatz ist. Aber das ist zumindes schon einmal ein Tipp.

anonymous

21:14 Uhr, 05.09.2015

Ok, mein Ansatz reicht da wohl nicht ganz aus.

Ich habe mir folgendes überlegt:

- - -

P (s P) + P (s S) = 1

\frac{P (s P)}{P (s S)} = \frac{4}{7}

liefert

P (s P)

und

P (s S)

- - -

\frac{P (e S \cap s P)}{P (s P)} = \frac{5}{100}

\frac{P (e P \cap s S)}{P (s S)} = \frac{6}{100}

liefert dann

P (e S \cap s P)

und

P (e P \cap s S)

- - -

P (s S | e P) + P (s P | e S) = 1

P (e P) + P (e S) = 1

P (s S | e P) \cdot P (e P) = P (e P \cap s S)

P (s P | e S) \cdot P (e S) = P (e S \cap s P)

liefert dann

P (s S | e P), P (s P | e S), P (e P)

und

P (e S)

. Also erhält man insbesondere

P (s S | e P)

und

P (s P | e S)

- - -

Das letzte Gleichungssystem ist jedoch nicht eindeutig lösbar.
Soweit ich das sehe können folgende Fälle auftreten:

1. Fall:

P (s S | e P) \approx 3,89 %

P (s P | e S) \approx 96,11 %

P (e P) \approx 98,11 %

P (e S) \approx 1,89 %

2. Fall:

P (s S | e P) \approx 98,11 %

P (s P | e S) \approx 1,89 %

P (e P) \approx 3,89 %

P (e S) \approx 96,11 %

Ma-Ma aktiv_icon

22:40 Uhr, 05.09.2015

@kenkyu: Ich habe mir auch Gedanken gemacht. Würdest Du bitte kommentieren? Danke.

Gesendete Zeichen insgesamt

11

4 x P

gesendet und

7 x S

gesendet.

P_{s} = P

senden

P_{e} = P

empfangen

Im Baumdiagramm:

P (P_{s}) \cdot P (P_{e}) = \frac{4}{11} \cdot \frac{95}{100} = \frac{380}{1100}

P (P_{s}) \cdot P (S_{e}) = \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{100} = \frac{20}{1100}

P (S_{s}) \cdot P (S_{e}) = \frac{7}{11} \cdot \frac{94}{100} = \frac{658}{1100}

P (S_{s}) \cdot P (P_{e}) = \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{100} = \frac{42}{1100}

Punkt empfangen:

P (P_{e}) = \frac{380}{1100} + \frac{42}{1100} = \frac{422}{100}

Nachtrag: Punkt gesendet und Punkt empfangen:

P (P_{s}) \cdot P (P_{e}) = \frac{380}{1100}

Wkt., dass Punkt empfangen und auch Punkt gesendet

P = \frac{380}{422}

Gehst Du da mit ?

(Habe auch eine Vierfeldertafel dazu erstellt.)

Roman-22

23:32 Uhr, 05.09.2015

Mit Bäumchen aufzeichnen ist es im Grunde recht einfach und kurz. Formal mit Bayes ist es dann halt lästige Schreibarbeit.
Bei dir, Ma-Ma, sehe ich leider kein Endergebnis zu den Aufgaben

a)

oder

b)

und das mag

u . a

. auch daran liegen, dass du zB anstelle der bedingten Wahrscheinlichkeit

P (P_{e} | P_{s}) = 95 %

nur (wie ich meine fälschlicherweise) zB

P (P_{e}) = 95 %

schreibst. In deiner Rechnung gibt es drei verschiedene Werte für

P (P_{e}),

je nachdem, wo du diesen Ausdruck verwendest - einmal

\frac{95}{100},

dann

\frac{6}{100}

und zuletzt(und nur das ist richtig bezeichnet)

\frac{422}{1100}

. (dir fehlt da eine Null.)

EDIT: Endergebnis zu

a)

doch noch entdeckt.

>

Wkt., dass Punkt empfangen und auch Punkt gesendet
Mit dem Ergebnis bin ich einverstanden, nicht aber mit deiner obigen Formulierung. Es ist nicht die Wkt, dass Punkt empfangen UND Punkt gesendet wurde, sonder es ist die bedingte Wkt., dass ein Punkt gesendet wurde, wenn wir bereits wissen, dass ein Punkt angekommen ist.

Also, was kann man dem Angabetext entnehmen (ich bediene mich der Nomenklatur von Ma-Ma, der besseren Lesbarkeit halber mit Indizes in Großbuchstaben):

P (P_{S}) = \frac{4}{11}

P (S_{S}) = \frac{7}{11}

P (S_{E} | P_{S}) = 5 %

P (P_{E} | P_{S}) = 95 %

P (P_{E} | S_{S}) = 6 %

P (S_{E} | S_{S}) = 94 %

Gesucht ist bei

a) : P (P_{S} | P_{E}) =

?

Bemühen wir also mehrmals Herrn Bayes:

P (P_{S} | P_{E}) = \frac{P (P_{S} \cap P_{E})}{P (P_{E})} = \frac{P (P_{S} \cap P_{E})}{P (P_{S} \cap P_{E}) + P (S_{S} \cap P_{E})} = \frac{P (P_{S}) \cdot P (P_{E} | P_{S})}{P (P_{S}) \cdot P (P_{E} | P_{S}) + P (S_{S}) \cdot P (P_{E} | S_{S})} =

= \frac{\frac{4}{11} \cdot \frac{95}{100}}{\frac{4}{11} \cdot \frac{95}{100} + \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{100}} = \frac{190}{211} \approx 90,05 %

(Als Nebenprodukt erhalten wir im Nenner

P (P_{E}) = \frac{211}{550} \approx 38,36 %,

wie von Ma-Ma gegen Ende ihrer Überlegungen richtig angegeben.)

Analog erhält man bei

b)

das Ergebnis

P (S_{S} | S_{E}) = \frac{329}{339} \approx 97,05 %

Hier kann man sich die Berechnung sogar ein wenig vereinfachen, da ja

P (S_{E}) = 1 - P (P_{E}) = \frac{339}{550} \approx 61,64 %

gilt.

R

anonymous

23:38 Uhr, 05.09.2015

"Im Baumdiagramm:

[

...]"

Hier hast du an einigen Stellen falsche Bezeichnungen stehen. In der ersten Zeile hast du beispielsweise

P (P_{s}) \cdot P (P_{e}) = \frac{4}{11} \cdot \frac{95}{100} = \frac{380}{1100}

stehen. Korrekt wäre:

P (P_{s}) \cdot P (P_{e} | P_{s}) = \frac{4}{11} \cdot \frac{95}{100} = \frac{380}{1100}

.

Schließlich brauchst und benutzt du im Baumdiagramm die bedingte Wahrscheinlichkeit

P (P_{e} | P_{s}) = \frac{95}{100},

dass ein Punkt empfangen wird, wenn ein Punkt gesendet wird. Jedoch würde

P (P_{e})

eher für die (nicht bedingte) Wahrscheinlichkeit stehen, dass ein Punkt empfangen wird, so wie du es auch weiter unten bei

P (P_{e}) = ... = \frac{422}{1100}

benutzt hast. (Da fehlt dir übrigens eine Ziffer. Es sind

\frac{422}{1100}

statt

\frac{422}{100} .)

Daher ist dann

\frac{380}{422} = \frac{P (P_{s}) \cdot P (P_{e} | P_{s})}{P (P_{e})} = P (P_{s} | P_{e})

.

Die Lösung ist, bis auf einige Ungenauigkeiten bei der Bezeichnung gut. Ich muss nur nochmal darüber schauen, ob/wo ich evtl. einen Fehler gemacht habe.

Ma-Ma aktiv_icon

23:42 Uhr, 05.09.2015

@Roman: Danke für die Antwort.
Du hast das Gleiche raus wie ich.

P = \frac{380}{422} = \frac{190}{211} = 90,05 %

War mir unsicher, ob meine Vorgensweise stimmt, da kenkyu ja die Aufgabe anders interpretiert hat.

Mal sehen, was er antwortet.

Stutzig macht mich ein wenig:
"Bei der Übertragung der Zeichen

. .

. im Mittel

5 %

der gesendeten Punkte als Striche .. übertragen."
Kenkyu hat das anders interpretiert als wir

. .

.
LG Ma-Ma

- - - - - - -

1. Nachtrag: Kenkyu: Habe Deinen letzten Post erst nachträglich gesehen, schaue ihn mir gleich genauer an.

2.Nachtrag: Jepp, ich habe schlampig geschrieben und nicht sauber zwischen Wkt. und bedingter Wkt. unterschieden.

Roman-22

23:46 Uhr, 05.09.2015

>

Kenkyu hat das anders interpretiert als wir

. .

.
Ich muss gestehen, dass ich mir seine Ausführungen nicht so genau angesehen habe. Aber von seinen Bezeichnungen der bedingten WKten in seiner ersten Antwort her sieht es für mich eigentlich schon so aus, als hätten wir keine Auffassungsunterschiede.

R

anonymous

23:55 Uhr, 05.09.2015

Ich habe meinen Fehler gefunden. Ich habe nicht aufgepasst und aus Versehen

P (s S | e P) + P (s P | e S) = 1

angenommen. Das ist natürlich falsch.
Ich hatte da

P (s S | e P) + P (s P | e P) = 1

bzw.

P (s S | e S) + P (s P | e S) = 1

im Kopf.

Den Weg über die totalen Wahrscheinlichkeiten, die man sich ja auch gut im Baumdiagramm veranschaulichen kann, habe ich irgendwie komplett übersehen. Daher ist mein Weg (der ja sowieso falsch ist) komplizierter geworden als eurer.

Danke.

Ma-Ma aktiv_icon

00:00 Uhr, 06.09.2015

Danke kenkyu, Du hast meine Verwirrung aufgelöst

. .

.
LG Ma-Ma

Taylor aktiv_icon

00:18 Uhr, 06.09.2015

Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen, habt mir gut geholfen.

Ergebnisse sind korrekt

a)

Punkt:

90 %

b)

Strich:

97 %

Taylor aktiv_icon

00:19 Uhr, 06.09.2015

Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen, habt mir gut geholfen.

Ergebnisse sind korrekt

a)

Punkt:

90 %

b)

Strich:

97 %

Taylor aktiv_icon

00:19 Uhr, 06.09.2015

Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen, habt mir gut geholfen.

Ergebnisse sind korrekt

a)

Punkt:

90 %

b)

Strich:

97 %

Taylor aktiv_icon

00:19 Uhr, 06.09.2015

Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen, habt mir gut geholfen.

Ergebnisse sind korrekt

a)

Punkt:

90 %

b)

Strich:

97 %

1251800

1251731

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?