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Wahrscheinlichkeit einer Zahlenfolge

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Fl4mer aktiv_icon

13:25 Uhr, 20.10.2017

Hallo Leute, habe eine Frage zu einer Aufgabe.

Aufgabe:

Es sei

n \in ℕ

. Wir nennen

a = (a_{1}, ..., a_{n})

eine Folge

01

der Länge

n,

falls

a_{i} \in {0,1}, i = {1, ..., n}

. Wir sagen, dass a das Muster

0110

enthält, falls

a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, a_{i + 3} = 0110

für ein

i \in {1, ..., n - 3}

. Für

k \in ℕ

sei nun

X = (X_{1}, ..., X_{4 k})

eine rein zufällige 01-Folge der Länge

4 k

. Warum gilt folgende Aussage:

P (X

enthält das Muster

0110) \geq 1 - {(1 - 2^{- 4})}^{k}

Mein Lösungsansatz:

P = (4 k - 3) \cdot (\frac{1}{16}),

da man

4 k - 3

Stellen mit dem 4 Code belegen kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass der 4-Code

0110

ist, ist

\frac{1}{16}

.

Stimmt dieser Ansatz für P.

Wenn ich

P

hätte würde ich mithilfe einer vollständigen Induktion die Aussage beweisen.

Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

tobit aktiv_icon

14:16 Uhr, 20.10.2017

Hallo Fl4mer!

Ich bezeichne das Ereignis

{X enthält das Muster 0110}

mit A.
Das Ereignis, dass X das Muster 0110 an der Stelle i beginnend enthält, bezeichne ich mit

A_{i}

für

i = 1, \dots, 4 k - 3

.

Also

A = ⋃_{i = 1}^{4 k - 3} A_{i}

.

Es gilt

P (A_{i}) = 2^{- 4} = \frac{1}{16}

für alle

i = 1, \dots, 4 k - 3

, wie du auch schon überlegt hast.

Nun lautet deine weitere Überlegung offenbar:

P (A) = P (⋃_{i = 1}^{4 k - 3} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{4 k - 3} P (A_{i}) = \sum_{i = 1}^{4 k - 3} \frac{1}{16} = (4 k - 3) \cdot \frac{1}{16}

.

Das Problem daran: Das zweite Gleichheitszeichen stimmt nicht.
Es würde stimmen, wenn die

A_{i}

paarweise disjunkt wären.
Paarweise disjunkt sind sie aber nicht, denn z.B.

A_{1}

und

A_{4}

können durchaus (im Falle

k \geq 2

) gleichzeitig eintreten, nämlich dann, wenn die Folge mit

0110110 \dots

beginnt.

Zum Glück müssen wir nicht P(A) explizit bestimmen, sondern nur abschätzen.
Gleichbedeutend mit der geforderten Abschätzung ist die Abschätzung

P (A^{c}) \leq (1 - 2^{- 4})^{k}

.

Die Idee zum Nachweis dieser Abschätzung besteht nun sehr schwammig gesprochen darin, nur

A_{1}, A_{5}, A_{9}, A_{13}, \dots

zu betrachten, so dass "sich die zugehörigen Muster nicht gegenseitig in die Quere kommen".

Sauberer formuliert (ich setze hier

k \geq 1

voraus):
Es gilt

A^{c} = (⋃_{i = 1}^{4 k - 3} A_{i})^{c} = ⋂_{i = 1}^{4 k - 3} A_{i}^{c} \subseteq ⋂_{j = 0}^{k - 1} A_{4 j + 1}^{c} = : B

.

Somit

P (A^{c}) \leq P (B)

.

Die

k

Ereignisse

A_{4_{j} + 1}^{c}

für

j = 0, \dots, k - 1

sind stochastisch unabhängig.
Daher gilt wie gewünscht

P (B) = \prod_{j = 0}^{k - 1} P (A_{4 j + 1}^{c}) = \prod_{j = 0}^{k - 1} (1 - P (A_{4 j + 1})) = \prod_{j = 0}^{k - 1} (1 - 2^{- 4}) = (1 - 2^{- 4})^{k}

.

Viele Grüße
Tobias

Fl4mer aktiv_icon

15:37 Uhr, 20.10.2017

Hallo Tobias, danke für deine ausführliche Antwort. Habe jedoch noch eine Frage, was genau ist das

P (A^{c})

?

Also verstehe nicht ganz wie du auf die Formel kommst

tobit aktiv_icon

15:40 Uhr, 20.10.2017

Gut, dass du nachfragst! :-)

P (A^{c})

ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

A^{c}

A^{c}

bezeichnet dass Gegenereignis (Komplement) zum Ereignis

A

.
Somit bezeichnet

A^{c}

das Ereignis, dass in der Zahlenfolge das Muster 0110 nicht vorkommt.

tobit aktiv_icon

15:50 Uhr, 20.10.2017

Welche Formel genau ist dir unklar?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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