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Wahrscheinlichkeit für einen Unentschieden

Universität / Fachhochschule

Tags: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

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23:26 Uhr, 22.10.2020

Hallo Zusammen,

wenn ich

X

Leute habe welche

X

unterschiedliche Entscheidungen treffen können, komme ich auf

X^{X}

mögliche Varatiaonen wie sich die Personen entscheidenen können.

Meine Frage ist: Gibt es eine Möglichkeit zu bestimmen wie häufig die Leute auf eine mehrheitliche Entscheidungen kommen oder auf ein Unentschieden.

Am Beispiel mit 3 Leuten und

3 (A; B; C)

möglichen Entscheidungen komme ich erst mit der Hilfe einer Auflistung aller möglichen Varationen auf 6 Unentschieden/Keine Mehrheit:

1. ABC
2. ACB
3. BCA
4. BAC
5. CAB
6. CBA

Das ganze würde ich jetzt am Beispiel mit 5 Leuten und 5 unterschiedlichen Entscheidungen bestimmen wo ich aber schon allein

3125

mögliche Varationen habe.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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05:38 Uhr, 23.10.2020

Mehrheit

m

bedeutet mindestenst die Hälfte von

x + 1

trifft diesselbe Entscheidung.

Falls

x

gerade ist:

m \geq \frac{x}{2} + 1

Falls

x

ungerade ist:

m \geq \frac{x + 1}{2}

Beispiel:
4 mögl. Entscheidungen: Mindestens 3 Personen müssen eine davon treffen:

P (X \geq 3) = P (X = 3) + P (X = 4)

unentschieden: genau 2 treffen diesselbe Entscheidung:

P (X = 2)

Berechne diese WKTen!

HAL9000

09:44 Uhr, 23.10.2020

Wir müssen wohl erstmal die Begriffe klären: Was verstehst du unter "Mehrheit" bzw. "Unentschieden"?

supporters Gedanken betreffen die ABSOLUTE Mehrheit, d.h., wenn es eine Entscheidung gibt die öfter vorkommt als alle anderen Entscheidungen in Summe.

Aber womöglich meinst du ja auch nur die EINFACHE Mehrheit, d.h., wenn es eine Entscheidung gibt die öfter vorkommt als jede andere einzelne.

Im obigen Fall

X = 3

sind beide Konzepte offenbar gleich, was man bei

X \geq 4

nicht mehr sagen kann.

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10:48 Uhr, 23.10.2020

"Aber womöglich meinst du ja auch nur die EINFACHE Mehrheit,

d . h .,

wenn es eine Entscheidung gibt die öfter vorkommt als jede andere einzelne"

genau das ist der Punk.

Wenn ich das Beispiel mit 5 Leuten durchrechnen möchte, welche 5 Entscheidungen treffen können

(A; B; C; D; E)

Dann habe ich zunächst einmal

3125

mögliche Varationen wie die Leute abstimmen könnten.

Nun intersiert mich wie viele von diesesn

3125

zu keiner einfachen Mehrheit führen werden, also solche Ergebnisse:

{

ABCDE, ABBCC, AABBC, CBDEE,

...}

Gibt es einen Weg diese Anzahl aus

3125

zuerechnen?

Als ich das mit 3 Leuten und 3 Entscheidungen durch gerechnet habe musste ich aufwendig eine Tabelle mit allen

27

Varationen auf zeichen und dort die Unentschieden herrauslesen. Für

n > 3

würde ich mir gerne die Arbeit ersparen :-D)

Jedoch auch schon mal vielen lieben Dank für die schnellen Antworten!!!

HAL9000

11:37 Uhr, 23.10.2020

Hmm, das ist verflucht anstrengend. Auf Anhieb fällt mir nur der Weg ein, das mühsam zusammenzustoppeln. Bei

X = 5

wäre das

P1) Anzahl der 5-Tupel mit ABSOLUTER Mehrheit zählen (siehe supporter). Ergibt Anzahl

X \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{X - 1}{2} ⌋} (\begin{array}{c} X \\ k \end{array}) {(X - 1)}^{k} = 5 \sum_{k = 0}^{2} (\begin{array}{c} 5 \\ k \end{array}) 4^{k} = 5 (1 + 5 \cdot 4 + 10 \cdot 4^{2}) = 905 (*)

P2) Anzahl der 5-Tupel, wo genau eine Entscheidung doppelt, und die anderen drei Entscheidungen jeweils nur einmal vorkommen. Deren Anzahl ist gleich

5 \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) \cdot \frac{4!}{(4 - 3)!} = 1200

.

Das ergibt mit P1)+P2) dann 2105 Variationen mit einfacher Mehrheit.

Zur Kontrolle: Keine solche einfache Mehrheit gibt es in den Fällen

N1) Genau zweimal eine doppelte Entscheidung, Anzahl

(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) \cdot 3 \cdot \frac{5!}{2!^{2}} = 900

.

N2) Alle fünf nur jeweils einzeln, Anzahl

5! = 120

.

Ergibt mit N1)+N2) dann 1020 Variationen, was ja genau der erwarteten "Restanzahl" 3125-2105 entspricht.

------------------------------------------------------------------

Wie man leicht sieht, sind bei diesem mühsamen Weg mit wachsendem

X

immer neue Fälle mit immer komplizierterer Anzahlberechnung fällig - kein leichtes Brot. Bereits bei

X = 6

hat man

P1) Eine Entscheidung mindestens vierfach.
P2) Eine Entscheidung doppelt, alle anderen einfach.
P3) Eine Entscheidung dreifach, alle anderen einfach.
P4) Eine Entscheidung dreifach, eine zweifach.

Und so ufert das bereits mit leicht wachsendem

X

schnell ziemlich aus. Eine "allgemeine" Formel in

X

dürfte daher ziemlich schwierig aufzustellen sein - bei der ABSOLUTEN Mehrheit ist das einfacher, siehe Formel (*).

Roman-22

14:42 Uhr, 23.10.2020

Eine allgemeine Formel hab ich leider auch keine anzubieten, aber die öde Arbeit des Abzählens kann man auch einem Rechenknecht überlassen. Allerdings wird mit steigender Personenanzahl auch der Brute Force Ansatz recht zäh. Denoch hier die Werte bis

n = 8 -

vielleicht können Sie ja nützen.
Wie kommt es denn zu dieser Aufgabe und der Annahme, dass die Anzahl der möglichen Entscheidungen immer gleich der Personenanzahl ist?

Hier die Tabelle und im Anhang die Grafik mit den Wahrscheinlichkeiten. Man kann nun darüber spekulieren, welchem Wert sich die WKT mit steigender Personenanzahl nähert.

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15:26 Uhr, 23.10.2020

Wow! Vielen lieben Dank für euere Antworten

@ HAL9000: Der Rechenweg ist für mich klar verständlich und gibt mir auch einen guten Aufschluss darüber mit welchen Problemen ich bei

x + 1

konfrontiert werde.
Jedoch kann ich diesen Rechenweg nicht auf

X = 3

übertragen. Wenn du mir hier noch mal den Rechenweg aufzeigen würdest für die Ergebnisse, würde mir das sehr weiterhelfen!

@Roman-22

Ich arbeite gerade im Rahmen einer Arbeit folgenden Ansatz zu prüfen: Wenn ich

X

Leute habe welche

X

Entscheidungen treffen können, wie verhält sich meine Häufigkeit das die Leute zu keinem eindeutigen Ergebnis kommen.

Deine beigefügte Tabelle finde ich diesem Kontext sehr intersannt. Hast du das für ein herkömmliches Excel verwendet? Wenn Ja, welche Formel hast du benutzt?

HAL9000

15:52 Uhr, 23.10.2020

Für X=3 gibt es nur den einen Positiv-Fall

P1) Anzahl der 3-Tupel mit ABSOLUTER Mehrheit

X \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{X - 1}{2} ⌋} (\begin{array}{c} X \\ k \end{array}) {(X - 1)}^{k} = 3 \sum_{k = 0}^{1} (\begin{array}{c} 3 \\ k \end{array}) 2^{k} = 3 (1 + 3 \cdot 2) = 21

Der Summand für

k

gibt übrigens die Anzahl der Tupel an, wo genau

k

Entscheidungen NICHT der Mehrheitsentscheidung folgen. Der Faktor

X

vor der Gesamtsumme ist begründet dadurch, dass es ja

X

Möglichkeiten für die Wahl der Mehrheitsentscheidung gibt.

Geht aber eigentlich viel schneller über das Komplement und damit den ebenfalls nur einen Negativ-Fall

N1) Anzahl 3-Tupel, wo jede Entscheidung nur einmal vorkommt, das ist einfach

3! = 6

.

Mit N1) kommt man via

3^{3} - 3! = 27 - 6 = 21

auch zum Ziel.

> Wie kommt es den zu dieser Aufgabe und der Annahme, dass die Anzahl der möglichen Entscheidungen immer gleich der Personenanzahl ist?

Hab ich mich auch kurz gefragt - nötig ist das nicht. In diesem Fall hat man dann bei Personenzahl

X

und Entscheidungsanzahl

Y

genau

Y \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{X - 1}{2} ⌋} (\begin{array}{c} X \\ k \end{array}) {(Y - 1)}^{k}

Tupel mit absoluter Mehrheit, bei

Y^{X}

Tupeln insgesamt.

> Wenn Ja, welche Formel hast du benutzt?

Die Tabelle hat wohl die ganze Aufmerksamkeit auf sich gezogen - zu Lasten des Begleittextes. Anders ist nicht zu erklären, wie man diese Frage überhaupt stellen kann.

Roman-22

16:45 Uhr, 23.10.2020

>

Hast du das für ein herkömmliches Excel verwendet? Wenn Ja, welche Formel hast du benutzt?
Nein, ich hab nicht Excel benutzt und auch keine raffinierte Formel verwendet.
Ich hab mir ein Programm geschrieben, welches alle

N^{N}

Variationen erzeugt, von jeder Variation ermittelt, wie oft jede "Entscheidung" vorkommt und wenn das Maximum dieser Liste in der Liste nur genau einmal auftritt, dann wurde ein Zähler erhöht. Also einfach mit brutaler Rechnergewalt alle Möglichkeiten durchgesehen.

>Die Tabelle hat wohl die ganze Aufmerksamkeit auf sich gezogen - zu Lasten des Begleittextes.
;-) Ja, so wirds wohl gewesen. Die Hoffnung (auf eine fertige Formel) stirbt halt zuletzt.

>

wie verhält sich meine Häufigkeit das die Leute zu keinem eindeutigen Ergebnis kommen.
Hmm, Ich würde etwa bei sieben Personen und einem Ergebnis wie AABCDEF jetzt nicht unbedingt von einem "eindeutigen" Votum für A sprechen. Ganz abgesehen von der wohl etwas realitätsfernen Annahme, dass alle ihre Entscheidung rein zufällig treffen.

eomred aktiv_icon

12:54 Uhr, 24.10.2020

";-) Ja, so wirds wohl gewesen. Die Hoffnung (auf eine fertige Formel) stirbt halt zuletzt."

Ertappt :-D)

Vielen lieben Dank euch allen!

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