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Wahrscheinlichkeit keinen 6-er Pasch würfeln?

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Tags: Kombinatorik

tommy40629 aktiv_icon

12:55 Uhr, 01.11.2014

Hi,

ich habe 2 Würfel, die 24 Mal geworfen werden.

Ich will nun die W-keit berechnen, dass kein 6-er Pasch geworfen wird.

Ich muss dazu ein Ereignis A:"kein 6-er Pasch wird bei 24 Würfen geworfen." definieren.

Und ich brauche alle möglichen Ergebnisse.

Die W-keit von A ist dann:

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣}

Mächtigkeit von Omega berechnen:
---------------------------------

∣ Ω ∣ = 3 6^{24}

Nun brauche ich noch die Mächtigkeit von A.

Dazu muss ich die Frage beantworten: Wie viele Möglichkeiten gibt es von 48 Feldern 47 mit den Ziffern 1 bis 5 und 1 Feld mit den Ziffern 1 bis 6 zu belegen.
Mit Wiederholungen und Beachtung der Reihenfolge.
Und ein Platz darf auch die 6 anzeigen, weil eine geworfene 6 kein Pasch ist.

Dann hätten wir 6*5*5*...*5 Möglichkeiten ,also

6 * 5^{47}

Möglichkeiten.

P (A) = \frac{6 * 5^{47}}{3 6^{24}} = 0, 000189

Das ist irgendwie sehr wenig??

EDIT:
Habe es noch mit Matlab berechnet und je öfter man würfelt, umso kleiner werden die W-keiten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

dapso aktiv_icon

13:25 Uhr, 01.11.2014

Hallo,

mein Vorschlag für

∣ A ∣

wäre.

∣ A ∣ = 3 5^{24}

Vllt denkst du mal darüber nach.

tommy40629 aktiv_icon

15:45 Uhr, 01.11.2014

Bei

∣ A ∣ = 3 5^{24}

besteht A aus 24-er Tupel, die als Einträge Paare haben.
z.B. ((3,4)(2,5),...,(1,2)) pro Paar gibt es 35 Möglichkeiten und das 24 Mal.

Also

3 5^{24}

Ich hatte mir das nun so gedacht. Der Ergebnisraum ist klar, pro Paar, was einen Tupeleintrag entspricht gibt es 6*6=36 Möglichkeiten und wir haben 24 Einträge =>

3 6^{24}

Jetzt wollen wir alle Möglichkeiten für die 24-er Tupel finden, in denen KEIN Paar mit der Möglichkeit

(6, 6)

auftaucht. In diesem 24-er Tupel darf nur genau eine 6 und ansonsten die Ziffern 1,2,3,4,5 auftauchen.

Ein Möglichkeit wäre

((6, ?)_{1}, (?, ?)_{2}, . . ., (?, ?)_{24})

wobei die Fragezeichen nur die Ziffern 1 bis 5 annehmen dürfen. Dann gäbe es für dieses 24-er Tupe 6*5=30 Möglichkeiten für den 1. Eintrag.

Für den 2,3,4,...24-ten Eintrag gäbe es 5*5=25 Möglichkeiten. Also

2 5^{23}

Möglichkeiten für die Einträge 2,3,...,24. Und noch die 30 Möglichkeiten des 1. Eintrages.
Also insgesamt

30 * 2 5^{23}

Möglichkeiten für diese 24-er Tupel.

Aber das Paar (6,?) kann ja an 24 Stellen stehen. Und das Paar (?,6) kann auch an 24 Stellen stehen. Dann sind es

24 * 24 * 30 * 2 5^{23}

Möglichkeiten keinen 6-er Pasch zu würfeln.

Leider entspricht dies nicht den

3 5^{24}

.
--------------------------------------------------
Ich kann nicht die Möglichkeiten bestimmen, die es gibt, wenn man 24 Paare anordnet, wobei 23 Paare als Einträge die Ziffern 1 bis 5 und 1 Paar als 1. Eintrag die Ziffern 1 bis 6 und als 2. Eintrag die Ziffern 1 bis 5 und umgekehrt haben darf.

Ich habe da auch momentan keine Ideen mehr.

dapso aktiv_icon

22:19 Uhr, 01.11.2014

Ich verstehe dein Problem irgendwie nicht.

".....Ereignis A:"KEIN 6-ER PASCH wird bei 24 Würfen geworfen."

"In diesem 24-er Tupel darf nur GENAU EINE 6 und ansonsten die Ziffern 1,2,3,4,5 auftauchen."

Das ist mir nicht klar. Warum genau eine 6?

{(6, 1)_{1}, (1, 1)_{2}, (1, 1)_{3}, . . ., (1, 1)_{24}}

ist doch genauso zulässig wie

{(1, 1)_{1}, (1, 1)_{2}, (1, 1)_{3}, . . ., (1, 1)_{24}}

. Da ist es doch egal ob irgendwo EINE 6 steht oder halt nicht. Nur Tupel der Form

{(6, 6)_{1}, (1, 1)_{2}, (1, 1)_{3}, . . ., (1, 1)_{24}}

ist nicht zulässig, da es ein Zweiertupel der Form

(6, 6)

enthält. Du must dir also nur überlegen wie viele Möglichkeiten habe ich das erste Tupel zu wählen, damit dort nicht

(6, 6)

steht, dann wie viele Möglichkeiten habe ich das zweite Tupel zu wählen, ....

tommy40629 aktiv_icon

10:17 Uhr, 02.11.2014

Folgendes ist mit nicht ganz klar.

Ich reduziere das Problem mal auf ein 5-er Tupel, die Einträge sind wieder Paare.

2 Würfel werden also 5 mal gleichzeitig geworfen.

( (#,?),(?,?),(?,?),(?,?),(?,?) )

? \in

{

1, 2, 3, . . ., 6

}

# \in

{

1, 2, 3, 4, 5

}

Für dieses Tupel
( (#,?),(?,?),(?,?),(?,?),(?,?) )

Gibt es
( 5*6*6*6*6*6*6*6*6*6 ) Möglichkeiten

5 * 6^{9}

Das 1 Paar (#,?) kann aber doch auch noch an 2. und an 3.,4. und 5. Stelle stehen.

( (#,?),(?,?),(?,?),(?,?),(?,?) )
( (?,?),(#,?),(?,?),(?,?),(?,?) )
( (?,?),(?,?),(#,?),(?,?),(?,?) )
( (?,?),(?,?),(?,?),(#,?),(?,?) )
( (?,?),(?,?),(?,?),(?,?),(#,?) )

Und dann kann es noch den Platz im Paar tauschen. Aus (#,?) wird (?,#)

Dann gibt es noch einmal 5 verschiedene 5 er Tupel.

Dann müßte es

(5 * 5) * 5 * 6^{9}

Möglichkeiten geben.

Bei einem 3-er Tupel, wo alle Einträge, die Ziffern 0 bis 9 annehmen dürfen.
(a,b,c)

Da gibt es 10*10*10 Möglichkeiten.

Nun darf einer der 3 Einträge nur die Ziffern 1 bis 9 annehmen.

Ist das gleiche Problem.

Ich werde das, wenn ich wieder da bin mit Kugeln durch gehen, so finde ich sicher die richtige Formel....

dapso aktiv_icon

11:24 Uhr, 02.11.2014

((#, ?), (?, ?), (?, ?), (?, ?), (?, ?))

? \in {1, 2, 3, . . ., 6}

# \in {1, 2, 3, 4, 5}

Gibt es

(5 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6)

Möglichkeiten

5 * 6^{9}

"

Nein. Nach dem was du geschrieben hast wäre

((#, ?), (6, 6), (6, 6), (?, ?), (?, ?))

ein zulässiges Tupel. Wir gehen mal deiner Anregung nach und reduzieren das Problem. Wir betrachten das Problem, dass die Würfel nur die Zahlen 1 und 2 haben. Diese werden zweimal gewürfelt. Wir betrachten das Ereignis A keinen 2er Pasch zu werfen. Ich habe alle möglichen Ergebnisse im Bild aufgreschrieben. In welchen Ergebnissen kommt jetzt kein 2er Pasch vor?

tommy40629 aktiv_icon

15:03 Uhr, 02.11.2014

In 24 Ergebnissen kommt kein 2-er Pasch vor.

Das sind dann:

8 Mal das Paar (1,1)
8 Mal das Paar (1,2)
8 Mal das Paar (2,1)

Gibt es nun auch 8 Mal den Pasch(2,2)? Nein, der ist nur 7 Mal da.

Wir haben 3*8=24 Ergebnisse ohne den 2-er Pasch.

-------------------------------------------------------
Ich hatte in der Zwischenzeit noch diese gemacht:
Auf alle Möglichkeiten bin ich aber nur mit der Hilfe eines Baumdiagrammes
gekommen. Und die Vorgehensweise ist dabei völlig neu.
Dabei greift auch keine der bekannten Kombinatorikformeln

Wir haben das Trippel (a,b,c), wobei a,b,c Element der Menge {1,2} sein können.

Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, wenn eine der 3 Einträge im Trippel nur die Ziffer 2 und nicht die Ziffer 1 und die Ziffer 2 anzeigen darf?
Die Ziffern im Kasten [..] sind dann die festen Ziffern.

Das sind 7 Möglichkeiten. Aus dem Baumdiragmm im Bild werden sie ersichtlich:

gelbe Farbe:
([2],2,2)
([2],1,1)
([2],2,1)
([2],1,2)

grüne Farbe:
(1,[2],1)
(1,[2],2)

rosa Farbe:
(1,1,[2])

Die einzige Formel, die mir einfällt, wie ich auf die 7 Möglichkeiten komme ist:

(\binom{4}{1}) + (\binom{2}{1}) + (\binom{1}{1}) = 4 + 2 + 1 = 7

Auf die 4 Möglichkeiten kommt man, indem man sich das Ereignis betrachtet:"Der 1. Eintrag zeigt
nur die Ziffer 2 an."

Auf die 2 Möglichkeiten kommt man, indem man sich das Ereignis betrachtet:"Der 2. Eintrag zeigt
nur die Ziffer 2 an UND der 1 Eintrag zeigt nicht die Ziffer 2 an."

Auf die 1 Möglichkeit kommt man, indem an sich das Ereignis betrachtet: " Der 3. Eintrag zeigt nur die Ziffer 2 an UND der 1. sowie der 2. Eintrag zeigen keine Ziffer 2 an."

Weiter bin ich noch nicht gekommen....

dapso aktiv_icon

16:07 Uhr, 02.11.2014

Können wir bitte die eine Aufgabe zuerst machen? Wir reden da schon aneinander vorbei :-) Eine weitere Aufgabe ist da nicht so hilfreich. Du hast mein Bild missverstanden. Ich habe es deswegen ergänzt. Jede Zeile steht für ein mögliches Ergebnis, wenn ich zwei Würfel werfe, die nur Zahlen 1 und 2 haben und das ganze zweimal. Insgesamt gibt es also 16 Mögliche Ergebnisse. Also ist

∣ Ω ∣ = 16

. Was ist nun

∣ A ∣

tommy40629 aktiv_icon

16:51 Uhr, 02.11.2014

Ich habe 7 Paare gezählt, wo mindestens ein 2-er Pasch vorgekommen ist.

Dann ist

∣ A ∣ = 7

tommy40629 aktiv_icon

16:59 Uhr, 02.11.2014

Ich habe mich verschrieben.

Es gibt 7 Paare, wo 2 oder 1 2-er Pasch drin sind.

16-7=9

Also ist die Mächtigkeit von A gleich 9.

tommy40629 aktiv_icon

17:18 Uhr, 02.11.2014

Ich muss jetzt vom Übungszettel die Reinschrift machen.

ich habe das Werfen von 2 Würfeln, die nur die Ziffern 1 und 2 haben auch am Baumdiagramm dargestellt.

Man kann das werfen von 2 Würfeln gleichzeitig 2 Mal ja auch das Werfen von einem Würfel 4 Mal zurückführen.

gelb: "im 1. und 2. Wurf eine 2"

grün:"im 3. und 4. Wurf eine 2, aber im 1. und 2. Wurf keine 2"

Für gelb gibt es 4 Möglichkeiten.

Für grün gibt es 3 Möglichkeiten.

Ich muss irgendwie an die Siebformel denken.

dapso aktiv_icon

18:14 Uhr, 02.11.2014

Um das mal vllt abzuschließen:

{(a, b)_{1}, (c, d)_{2}}

Wenn man mit zwei Würfeln mit den Zahlen 1 und 2 würfelt, kommt eines der folgenden Paare raus:

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)

. Um jetzt rauszubekommen wie viele Möglichkeiten es gibt, keinen 2er Pasch bei zweimal werfen zu erhalten, muss man sich zunächst überlegen, wie viele Möglichkeiten kommen für

(a, b)_{1}

in Frage. Das sind genau

(1, 1), (1, 2), (2, 1)

, also 3 Möglichkeiten. Jetzt ist die Frage wie viele Möglichkeiten gibt es für

(c, d)_{2}

. Das sind wieder die Fälle

(1, 1), (1, 2), (2, 1)

. Fasst man das zusammen, ergeben sich

3 \cdot 3 = 9

Möglichkeiten, in denen

(2, 2)

nicht vorkommt.

\frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣} = \frac{9}{16}

Führt man das ganze 3x durch, so hat man

3 \cdot 3 \cdot 3

Ergebnisse, in denen

(2, 2)

nicht vorkommt.

\frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4}

Führt man das ganze n-mal durch, so hat man

3^{n}

Ergebnisse, in denen

(2, 2)

nicht vorkommt.

\frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣} = \frac{3^{n}}{4^{n}}

Und jetzt zurück zur Ausgangsfrage: Würfelt man mit 2 Würfeln, welche die Zahlen 1 bis 6 haben, gibt es 36 Möglichleiten.

(6, 6)

gibt es nur einmal. Die Wahrscheinlichkeit

(6, 6)

zu bekommen, beträgt für einmal würfeln

\frac{35}{36}

. Analog zu oben gilt dann, dass wenn man 24 mal das ganze macht, die Wk kein einziges Mal

(6, 6)

zu würfeln

\frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣} = \frac{3 5^{n}}{3 6^{n}}

beträgt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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