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Wahrscheinlichkeit mit Poissonverteilung

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Poisson, Poisson-Verteilung, Rechnen, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsverteilung

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15:06 Uhr, 06.12.2015

Wir nehmen an, dass die Anzahl der Druckfehler in einem Buch Poissonverteilt mit Parameter

λ > 0

ist. Beim Korrekturlesen wird jeder Fehler unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit

p \in (0, 1)

gefunden.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Korrekturlesen eines Buches genau

k

Fehler gefunden werden.

b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Buch genau

n

Druckfehler enthält, wenn beim Korrekturlesen genau

k

Fehler gefunden wurden

(n

≥

k)

.

Die Poissonverteilung haben wir so definiert:

P := \sum_{k \in ℕ_{0}} (e^{- λ} \cdot \frac{λ^{k}}{k!})

Mit

P ({k}) = (e^{- λ} \cdot \frac{λ^{k}}{k!})

Ich weiß aber leider trotzdem nicht, wie ich das anwenden soll..
Danke schonmal für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Erwartungswert
Varianz und Standardabweichung

Roman-22

18:10 Uhr, 06.12.2015

Ich würde sagen, dass es sich bei

a)

um eine Kombi aus Poisson- und Binomialverteilung handelt.

Nehmen wir an, wir wüssten, dass das Buch

n

Druckfehler enthält (natürlich mit

n \geq k)

.
Wie groß ist nun die WKT, dass unser Lektor davon

k

findet?

Das ist doch einfache Binomialverteilung

\to (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Die WKT muss jetzt aber noch mit der WKT, dass ein Buch genau

n

Fehler enthält, multipliziert werden und das liefert Poisson.
Und das Ganze muss man von

n = k

bis

n \to \infty

durchspielen und erhält so für die gewünschte Wahrscheinlichkeit

P = \sum_{n = k}^{\infty} [e^{λ} \cdot \frac{λ^{n}}{n!} \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}] = \frac{e^{λ} \cdot p^{k}}{k!} \cdot \sum_{n = k}^{\infty} [\frac{λ^{n}}{(n - k)!} \cdot {(1 - p)}^{n - k}]

Ich bin mir im Moment allerdings nicht sicher, ob sich diese WKT auch mit einer leichter handhabbaren endlichen Summe schreiben lässt.

So wie etwa für die WKT, dass ein Buch mindestens

k

Fehler enthält. Diese ist

\sum_{n = k}^{\infty} [e^{λ} \cdot \frac{λ^{n}}{n!}] = 1 - \sum_{n = 0}^{k - 1} [e^{λ} \cdot \frac{λ^{n}}{n!}],

wie man sich leicht durch Betrachtung des Gegenereignisses überlegen kann.

Für das in

a)

vorgestellte Ereignis will mir aber nichts ähnlich Schlaues einfallen.

Die bedingte WKT in

b)

ist dann aber wieder leicht anzugeben, wenn man das Ergebnis aus

a)

verwendet.

R

EDIT: Diese Frage www.onlinemathe.de/forum/Poisson-Verteilung-Zufallsvariable hat mich, glaube ich, auf die richtige Spur gebracht.

Die Anzahl der gefundenen Fehler müsste doch auch poissonverteilt sein mit dem Parameter

λ \cdot p

.
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit sollte sich dann mit

e^{- λ \cdot p} \cdot \frac{{(λ \cdot p)}^{k}}{k!}

berechnen lassen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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