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Wahrscheinlichkeit reelle Lösung

Schüler

Tags: quadratisch gleichung, Wahrscheinlichkeit

yellowman

18:10 Uhr, 25.06.2020

Hallo, ich habe die Aufgabe:

Die Variablen

p

und

q

sind gleichvereteilt und werden aus

(0, 1)

zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die Lösungen der Gleichung

x^{2} + p x + q = 0

reell?

Meine Idee:

Die Diskriminante muss größer gleich Null sein damit eine reelle Lösung vorliegt. Damit muss

\frac{p^{2}}{4} - q \geq 0

und somit

p^{2} \geq 4 q

sein.

Jetzt dachte ich mir ich muss die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass

p^{2} \geq 4 q

ist also

P (p^{2} \geq 4 q)

Jetzt dachte ich mir ich umschreibe es mit dem Gegenereignis und ziehe die Wurzel also:

P (p^{2} \geq 4 q) = 1 - P (p^{2} < 4 q) = 1 - P (- 2 \sqrt{q} < p < 2 \sqrt{q}) = 1 - P (0 < p < 2 \sqrt{q})

-

Jetzt dachte ich muss irgendwie die Gleichverteilung rein bringen. Hier gilt:

1 - \frac{1}{1 - 0} \int_{0}^{2 \sqrt{q}} d λ = 1 - \int_{0}^{2 \sqrt{q}} d λ = 1 - 2 \sqrt{q}

Kann mir jemand helfen?

Viele Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

19:48 Uhr, 25.06.2020

Der abgesteckte Bereich für

p

und

q

bildet in einem p-q-Koordinatensystem ein Quadrat der Fläche 1.
Positive Lösungen stellen sich für

q \leq \frac{p^{2}}{4}

ein. Also setze die Fläche unter der Parabel

q (p) = \frac{p^{2}}{4}

ins Verhältnis zur Gesamtfläche

(1)

.

Lösung:

\frac{1}{12}

yellowman

19:57 Uhr, 25.06.2020

Hallo Roman, kann ich auch mit meinem Ansatz weiter rechnen oder ist dieser komplett falsch?

Viele Grüße

HAL9000

21:52 Uhr, 25.06.2020

@yellowman

Prinzipiell kannst du so vorgehen, nur berechnest du die Fläche mit vertauschter Integrationsreihenfolge, was bei dieser Parabel überumständlich ist:

P (0 < p < 2 \sqrt{q}) = \int_{0}^{1} P (0 < p < 2 \sqrt{x}) d x = \int_{0}^{\frac{1}{4}} 2 \sqrt{x} d x + \int_{\frac{1}{4}}^{1} 1 d x = {[\frac{4}{3} x^{3 / 2}]}_{x = 0}^{\frac{1}{4}} + \frac{3}{4} = \frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{11}{12}

Und damit

P (p^{2} \geq 4 q) = 1 - P (0 < p < 2 \sqrt{q}) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}

.

Nach langem Umweg auch am Ziel ... naja.

anonymous

00:27 Uhr, 26.06.2020

Yo, mit

q \leq \frac{p^{2}}{4}

folgt

P := \int_{0}^{1} \frac{p^{2}}{4} \cdot d p = {[\frac{p^{3}}{12}]}_{0}^{1} = \frac{1}{12},

alles sehr einleuchtend.

Doch auch mit

q \leq \frac{p^{2}}{4} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{q} \leq p \leq 1 \Rightarrow 0 \leq p \leq 1 - 2 \cdot \sqrt{q}

(erlaubt, weil das letzte Intervall gleich groß ist wie das davor
und

p

das Verschieben der Intervallgrenzen egal...) gelingt

\int_{0}^{\frac{1}{4}} (1 - 2 \cdot \sqrt{q}) \cdot d q = {[q - \frac{4}{3} \cdot q^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}

.

Beachte, dass die Ungleichungen für

q > \frac{1}{4}

nicht mehr erfüllbar sind, daher die obere Integralgrenze

\frac{1}{4}

yellowman

08:51 Uhr, 26.06.2020

Schonmal vielen Dank für eure Antworten. Ich habe bis auf eine Sache alles verstanden.

Wie kommt Hal9000 auf folgendes:

\int_{0}^{1} P (0 < p < 2 \sqrt{x}) d x = \int_{0}^{\frac{1}{4}} 2 \sqrt{x} d x + \int_{\frac{1}{4}}^{1} 1 d x

Sonst habe ich alles verstanden. :-)

Viele Grüße

anonymous

13:06 Uhr, 26.06.2020

Nun, wegen

2 \cdot \sqrt{q} > 1

auf

(\frac{1}{4}, q]

und weil mehr wie volle Pulle nicht geht

(Chancen sind ja immer in

[0, 1])

.

Deswegen integriert man die 1 auf Intervallen,

wo der Integrand

\geq 1

ist und die 0 (also gar nicht),

wo er

\leq 0

ist.

Das ist ja auch klar, weil

0 \leq p, q \leq 1

.

Wir integrieren also nur den Bereich

zwischen x-Achse und etwaigen Funktionen,

der in diesem Quadrat liegt.

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