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Wahrscheinlichkeit von Besucherzahlen

Schüler Oberstufenzentrum, 13. Klassenstufe

Tags: Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeit

 
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Neutron7

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20:02 Uhr, 28.08.2016

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Hallo liebe OnlineMathe-Gemeinde,

ich bin neulich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Vor der letzten Zugabe verlassen voneinander unabhängig insgesamt 10%
der Besucher das Waldstadion. Im mittleren Rang hatten zuvor 2200 Besucher
gesessen. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei der letzten
Zugabe dort noch höchstens 2000 Besucher sitzen.

Mein Lösungsansatz:

Anzahl der Ziehungen(n) =2200
Anzahl der Treffer(k) = mindestens 200
Trefferwahrscheinlichkeit(p) =0,1

P(X≥200)=1-P(X≤199)
=1-F(2200;0,1;199)

1-F(2200;0,1;199)=1-(22001)⋅0,12200⋅0,92199+(22002)⋅0,12200⋅0,92198+...+(2200199)⋅0,12200⋅0,92201

Diese Rechnung ist extrem umfangreich.
Auch wenn ich versuchen würde die Wahrscheinlichkeit zu berechnen indem ich direkt ausrechne, dass höchstens 2000 Zuschauer bleiben, ist die Rechnung immernoch extrem umfangreich.
Es handelt sich hierbei um eine Aufgabe, die im Rahmen einer Klausur gestellt wurde.
Da mein Taschenrechner nicht in der Lage ist die benötigten Fakultäten auszurechnen gehe ich davon aus, dass mein Lösungsweg nicht zielführend ist.
Auch die Tabelle, welche der Aufgabe beigefügt ist, gibt die Wahrscheinlichkeiten nicht für diese hohen Zahlen an.


Hab ich irgendwas übersehen? Denke ich zu kompliziert?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Roman-22

Roman-22

20:56 Uhr, 28.08.2016

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Dein Ansatz weist zumindest zwei Fehler auf

1) du hast den Fall, dass am Ende noch alle 2200 Zuschauer im mittleren Rang da sind, vergessen

2) Dein Formel für die Binomialverteilung solltest du nochmals überdenken!
Die WKT, dass zB 2 Personen den mittleren Rang verlassen ist (22002)⋅0.12⋅0.92198. Vergleiche das mit dem, was du geschrieben hast.

Welche Hilfsmittel waren bei der Klausur erlaubt? Wenn dein TR auch vl die hohen Faktoriellen nicht berechnen kann, so hat er vl eine eigene Funktion für die Binomialkoeffizienten, die das schafft. Vielleicht gibts sogar für die kumulierte Binomialvertelung eine eigene Funktion - hängt vom TR-Modell ab.
Ergebnis der Aufgabe ist jedenfalls 92,897%.

Eine andere Möglichkeit ist die Näherung durch die Normalverteilung. Die Laplace-Bedingung (die letztlich nur eine Empfehlung ist) ist jedenfalls erfüllt. Mit Stetigkeitskorrektur erhält man so 92,742%.

R
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