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Wahrscheinlichkeiten Bei Scrabble

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeitsmaß, ziehen ohne zurücklegen

LisaLerntMathe aktiv_icon

16:13 Uhr, 21.05.2017

Hallo liebe Gemeinde, ich habe mit folgender Stochastik Aufgabe einige Schwierigkeiten. Wäre lieb, wenn ihr mir dabei vielleicht etwas unter die Arme greifen könntet.

Aufgabe:
Beim Scrabble werden vor Spielstart aus einem Säckchen mit 102 Buchstaben (35 Vokale, 3 Umlaute,
62 Konsonanten und 2 Joker/Blanks) 7 zufällig herausgezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass
(a) 5 Konsonanten und 2 Vokale
(b) mindestens 1 Joker
(c) kein Vokal
gezogen wird.

Meine Ansätze sehen folgendermaßen aus:

(a) P(a) =

\frac{(\binom{62}{5}) * (\binom{35}{2})}{(\binom{102}{7})}

, also etwa 0,21.

(b) P(b) =

\sum_{k = 1}^{2} P

("genau k Joker")

, also etwa 0,13.

(c) P(c) =

1 - P (

"mindestens 1 Vokal"

)

dann habe ich zunächst P("mindestens 1 Vokal") ausgerechnet:

P = \sum_{k = 1}^{7} P (

"genau k Vokale"

)

\frac{(\binom{35}{1}) * (\binom{67}{6}) + (\binom{35}{2}) * (\binom{67}{5}) + (\binom{35}{3}) * (\binom{67}{4}) + (\binom{35}{4}) * (\binom{67}{3}) + (\binom{35}{5}) * (\binom{67}{2}) + (\binom{35}{6}) * (\binom{67}{1}) + (\binom{35}{7}) * (\binom{67}{0})}{(\binom{102}{7})}

P(c)=

1 - P (

"mindestens 1 Vokal"

) = 1 - \frac{33328229}{34975290} = \frac{1647061}{34975290}

, also etwa 0,047.

Bei (a) bin ich mir eigentlich sicher, dass es so passen sollte, aber bei den anderen Teilaufgaben bin ich mir mit dem Ansatz nicht sicher...

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe! =)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

16:35 Uhr, 21.05.2017

Da wäre doch erstmal zu klären, wie Umlaute und Joker zu behandeln sind.
Zählen Umlaute als Vokale?
Darf ich bei Bedarf die Joker der einen oder anderen Gruppe hinzuschlagen, so wie das nunmal einem Joker zusteht? Also wenn ich

B, C, D, F, A

und 2 Joker ziehe, soll das bei

a)

als 5 Konsonanten und 2 Vokale zählen, weil ich einen Joker als Vokal und den anderen als Konsonant zähle?

Deine Lösung zu

a)

stimmt nur, wenn Umlaute nicht als Vokale zählen und Joker nicht Joker sein dürfen.

Bei

b)

hast du keine Rechnung angegeben. Das Ergebnis könnte richtig sein. Einfacher rechnest du es mit der Gegenwahrscheinlichkeit.

1 - \frac{(\begin{matrix} 100 \\ 7 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 102 \\ 7 \end{matrix})} = \frac{686}{5151} \approx 13,32 %

.

Bei

c)

hast du dir auch viel zu viel Arbeit gemacht. Die Wahrscheinlichkeit für keinen Vokal ist doch direkt mit

\frac{(\begin{matrix} 67 \\ 7 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 102 \\ 7 \end{matrix})}

viel einfacher zu berechnen. Wenns kein Vokal sein darf, dann müssen eben alle 7 Steine aus den anderen

67

gewählt werden.

[

wieder unter der Annahme, das Umlaute und Joker weder als Vokal, noch als Konsonant zu sehen sind]
Dein Ergebnis ist allerdings richtig.

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16:39 Uhr, 21.05.2017

Alternativ:

Baumdiagramm verwenden, alle möglichen Pfade berücksichtigen.

Roman-22

16:40 Uhr, 21.05.2017

>

Baumdiagramm verwenden
Im Ernst!?

LisaLerntMathe aktiv_icon

16:46 Uhr, 21.05.2017

Vielen Dank Roman-22 =)

Also ich habe die Aufgabe so verstanden, dass Umlaute nicht als Vokale zählen, da diese speziell als Umlaute angeführt worden sind. Bei den Jokern ist es denk ich ebenfalls so, dass sie einfach leere Buchstaben sind, alles andere wäre vermutlich dazu geschrieben worden.

Bei der b) hab ich genau deine Rechnung, habe ich wohl einfach vergessen abzutippen.

Dein Ansatz für c) ist tatsächlich deutlich einfacher und leuchtet mir auch ein, nachdem ich es gesehen habe.

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16:45 Uhr, 21.05.2017

Why not?
Hat man eine Reihenfolge, macht der Binomialkoeffizient den Rest.
Die WKT bleibt ja immer gleich bei jeder Reihenfolge, oder?

Roman-22

17:54 Uhr, 21.05.2017

@supporter

>

Why not?
Na, weils viel zu aufwändig ist - selbst wenn du es abkürzt, wie du andeutest, und de facto dann also doch kein Baumdiagramm verwendest.
Aber jeder nach seiner Facon.

@LisaLerntMathe

>

Also ich habe die Aufgabe so verstanden, dass Umlaute nicht als Vokale zählen, da diese speziell als Umlaute angeführt worden sind. Bei den Jokern ist es denk ich ebenfalls so, dass sie einfach leere Buchstaben sind, alles andere wäre vermutlich dazu geschrieben worden.

Auch ich gehe davon aus, dass es genau so gemeint ist und die Joker und Umlaute nur der Verwirrung halber zugefügt wurden. Trotzdem sollte eine ordentliche Aufgabenstellung das klarer spezifizieren.

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18:00 Uhr, 21.05.2017

@Roman:
Baumdiagramm ist anschaulicher als hypergeometr. Vert.
Für visuelle Typen ist das oft leichter, weil weniger abstrakt.
Das gilt

v . a

. bei Schülern, Hochschülern sollte beides kein Problem sein. :-)

KirstenS aktiv_icon

15:43 Uhr, 23.05.2017

Hallo Lisa,

es ist nicht Sinn der Übungsblätter, sich die Lösungen online zu beschaffen. Falls du Fragen zum Stoff oder zu den Übungsblättern hast, solltest du die Möglichkeiten an der Uni wahrnehmen. Die Tutorien sind jeweils:

Montag,

14 - 16

Uhr,

O 27 - 123

Dienstag,

10 - 12

Uhr,

O 27 - 2201 \cdot, 12 - 14

Uhr,

O 25 - 169, 16 - 18

Uhr,

O 27 - 2201 \cdot

Mittwoch,

10 - 12

Uhr,

43.2.104, 10 : 30 - 12

Uhr,

47.1.506, 12 - 14

Uhr,

N 24 - H 12, 14 - 16

Uhr,

47.1.506 \cdot

*Tutorium beginnt pünktlich

(s . t .)!

Zusatztutorium (Mathlab), ab

25.04

. (wöchentlich)
Dienstag,

16 - 18

Uhr,

O 27 - 121

Mittwoch

18 - 20

Uhr,

O 27 - 2203

Viele Grüße

Kirsten

LisaLerntMathe aktiv_icon

14:45 Uhr, 24.05.2017

Hallo liebe Kirste,
ich besuche ein Tutorium und die Vorlesung natürlich auch, auch werde ich versuchen das Angebot fürs Matlab wahrzunehmen.
Aber wie man hoffentlich aus dem Forumsverlauf entnehmen kann, habe ich nicht meine Aufgaben lösen lassen, sondern nur in Detailfragen Hilfe bekommen. Ich würde einzig ein Problem darin sehen, dass meine Kommilitonen sich an diesen Lösungen bedienen, anstatt sich selber damit auseinander zu setzten.
Jetzt muss ich natürlich mir einen neuen Weg überlegen meine Lösungen zu überprüfen, da ich davon ausgehen muss, dass meine Kommilitonen meine mit "Hilfe" erarbeiteten Lösungen kopieren.

Ich werde in Zukunft natürlich auf dieses Hilfsmedium verzichten und hoffe dass ich meine Fragen so lösen kann.

Liebe Grüße
Lisa

petrion aktiv_icon

02:09 Uhr, 25.02.2020

Selbstverständlich kann und darf hier JEDER Hilfe suchen für Lösungswege!!!

Niemand kann einer Studentin oder einem Studenten verbieten oder vorschreiben, sich hier - oder anderswo - Hilfe zu besorgen … Im Gegenteil: Diese Foren fördern das eigenständige und Problem lösende Denken und erzeugen dadurch automatisch auch einen Lerneffekt!!!

Dieses strikte und diktatorische Verhalten hat hier - und in der Bildung insgesamt - aber auch gar nichts zu suchen!!!

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