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Wahrscheinlichkeiten & Erwartungswert

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit

 
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Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

18:09 Uhr, 06.01.2011

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Hello, es geht um eine Aufgabe, die ich überhaupt nicht verstehe. Ich weiß einfach nicht, was ich machen muss

Also, es geht um zwei Urnen. Die Eine Urne hat 5 weiße und 1 rote Kugel. Die zweite besitzt 8 weiße und 2 rote Kugeln. Zieht ein Spieler aus Urne 1 sofort die rote Kugel gewinnt er, wenn nicht, dann bekommt er noch eine zweite Chance und greift in die zweite Urne- zieht er nun rot- gewinnt er.
Berechne, wie wahrscheinlich ein Gewinn bei diesem Spiel ist.

die Personen eines Kegelclubs spielen alle dieses Spiel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es unter ihnen mindestens 4 glückliche Gewinner?

10€ werden ausgezahlt, wenn der Spieler wie oben beschrieben ein Spiel gewinnt. Gebe den Erwartungswert für die Zufallsgröße X=Gewinn an.

Das Spiel wird geändert.Zieht der Spieler aus Urne eine weiße Kugel verliert er.
Hat er jedoch eine rote Kugel-egal ob im ersten Zug aus Urne 1 oder Urne zieht er eine weitere Kugel. Ist diese dann auch rot gewinnt er.Für den Spielgewinn werden bei dieser Risikovariante a=100€ ausgezahlt. Welche Spielvariante ist günstiger oder ?


habe ich für P(Urne 1 Gewinn) das hört sich ja eigentlich ganz logisch an) aber für einen Gewinn nach Urne 2 bekomme ich irgendwie raus, weil ich dachte ich müsste es so rechnen P(Gewinn .

muss ich hier die Binomialverteilung anwenden? n=wäre ja aber was ist dann p?! Muss ich dann einmal mit und ein andermal mit der anderen Wahrscheinlichkeit rechnen?! Bei größer als 4 nehme ich ja dann die kummulierte Tabelle. Stimmt das einigermaßen?!
Zu den anderen weiß ich leider nichts...


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

22:34 Uhr, 06.01.2011

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Zu Aufgabe

1.Schritt
Wenn 5 weiße Kugeln und 1 rote in der 1.Urne liegen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die rote zu ziehen?
Ergebnis 1

2. Schritt
Wie hoch ist also die Wahrscheinlichkeit, aus der 1.Urne keine rote Kugel zu ziehen?
Ergebnis 2

3.Schritt
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, aus der 2.Urne bei 8 weißen und 2 roten Kugeln 1 rote zu ziehen?
Ergebnis 3

4. Schritt
Multiplizieren der Ergebnisse 2 und 3
Ergebnis 4

5. Schritt
Addieren von Ergebnis 1 und Ergebnis 4

Et voilá
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

22:48 Uhr, 06.01.2011

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zu Aufgabe

Du benötigst das Ergebnis von Aufgabe hierfür.
Denn die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dein gesuchtes .

Binomialverteilung ist richtig, du musst die Werte für
Leute gewinnen) bis (alle Leute gewinnen) bestimmen.

Mit der Summentabelle kannst du da rangehen, ABER soweit ich das in Erinnerung habe, addiert die Summentabelle von ausgehend. Die Fälle bis jedoch müssen ausgeschlossen werden.


Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

10:54 Uhr, 07.01.2011

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Guten Morgen,

wow danke für deine Antwort, du hast mir schon sehr gut geholfen. Aber ich habe noch eine Frage, du hast geschrieben 5. Schritt
"Addieren von Ergebnis 1 und Ergebnis 4"
Wieso muss ich jetzt noch Ergebnis 4 auf Ergebnis 1 addieren? Weil wenn der Spieler aus Urne 1 sofort eine rote Kugel zieht, hat er doch sofort gewonnen, . er zieht doch nur einmal? Und wieso muss ich hier eigentlich überhaupt addieren?Ist das eine Pfadregel?!



achso, mein Ergebnis für
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

11:04 Uhr, 07.01.2011

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muss ich für die dann rechnen?
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

11:06 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Es gibt eben zwei Möglichkeiten zu gewinnen.
Also auch zwei Pfade.

Nur der erste Pfade endet ja schon, wenn aus der 1.Urne die rote Kugel gezogen wurde.

Der zweite Pfade teilt sich in zwei Pfade, nämlich aus der 2.Urne eine rote Kugel gezogen oder eben keine rote Kugel gezogen.

Und beides muss addiert werden, um auf die Gesamtwahrscheinlichkeit des Gewinns zu kommen
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

11:14 Uhr, 07.01.2011

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Gut, das hab ich verstanden, danke!


für hab ich jetzt gerechnet
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

11:27 Uhr, 07.01.2011

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Nein, nicht ganz.
Du hast jetzt berechnet, wie wahrscheinlich es ist, dass MINDESTENS 5 Spieler gewinnen.

Du musst auch den Fall mit einschließen.
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

11:35 Uhr, 07.01.2011

Antworten
. Mit welcher Zahl schließe ich denn noch die 4 mit ein?Aber ich muss mit rechnen?
Wenn ja, dann vielleicht so ?
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

11:40 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Genau so :-)
Also such die Summe der kumulierten Wahrscheinlich von bis heraus.
Und das subtrahierst du von 1.

Also Probe kannst Du ja die einfachen Werte für bis heraussuchen und addieren ;-)
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

11:47 Uhr, 07.01.2011

Antworten
yeah
dann hab ich für 1−F(10|1/3|3)= raus !

so zu
muss ich das jetzt so rechnen, dass ich die Wahrscheinlichkeiten für einen Gewinn von mit 10€ multiplizieren?


Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

11:53 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Ja, auf den Wert war ich auch gekommen.

Und dein Vorschlag zur Berechnung des Erwartungswertes klingt auch vernünftig :-)
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

11:57 Uhr, 07.01.2011

Antworten
sau stark ! ;-)

Ok.
10€ 10€ 10€ .
Stimmt das so ?!
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

12:05 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Die Wahrscheinlichkeit, das Spiel nach den Regeln von Aufgabe zu gewinnen beträgt .

Und mit dieser Wahrscheinlichkeit muss der mögliche Gewinn multipliziert werden.

Das ist alles :-)
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:08 Uhr, 07.01.2011

Antworten
du meinst, einfach 10€ ?
Was sagt mir dann der Ewartungswert in diesem Fall aus?
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:09 Uhr, 07.01.2011

Antworten
accccchhh

10€
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

12:15 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Der Erwartungswert ist sowas wie ein langfristiger Mittelwert.
In dem Fall kann man es so interpretieren, dass man pro Spiel im Schnitt Euro gewinnen würde.
Über einen möglichen Einsatz wurde aber in der Aufgabe auch nichts geschrieben. Und wenn der Einsatz beispielsweise 5 Euro wäre, würde man langfristig pro Spiel Euro verlieren
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:20 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Wie muss ich jetzt mit Aufgabe umgehen?
Ich muss ja jetzt eine neue Wahrscheinlichkeit aufstellen, oder? Aber wie?
Und was mache ich mit dem Wert a=100€?
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

12:26 Uhr, 07.01.2011

Antworten
An den Grundgegebenheuten (Anzahl der Kugeln pro Urne) ändert sich nichts.
Insofern ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder eine weiße Kugel aus Urne 1 bzw. Urne 2 zu ziehen erstmal gleich.

Was sich ändert, ist die Kombination der Möglichkeiten.

Und wichtig ist eigentlich nur ein Fall: der Spieler muss nun zweimal rot ziehen, um zu gewinnen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, erstmal aus Urne 1 die rote Kugel zu ziehen?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, erstmal aus Urne 2 eine rote Kugel zu ziehen?

Beides muss nun kombiniert werden :-)

Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:34 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Ehm, aus Urne 1 eine rote Kugel zu ziehen, ist ja und aus Urne



Muss ich da jetzt was mit Fakultät machen?

Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

12:41 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Nein, nix Fakultät :-)

Ganz am Anfang hatte ich mal was von Schritt 4 und Ergebnis 4 geschrieben.
Wie wärs damit?

Natürlich nicht exakt die gleichen Zahlen! Aber ich meine die Vorgehensweise
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:48 Uhr, 07.01.2011

Antworten
äh ja. kam da raus.
aus urne 1 wurde weiß gezogen, danach aus urne 2 rot. Jetzt muss aus Urne 2 gezogen werden. Man zieht eine rote. Braucht aber zweit rote zum gewinnen. . man zieht nochmal aus Urne 2.
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:51 Uhr, 07.01.2011

Antworten
ach vielleicht so?


Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

12:51 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Versuch es doch mal so:

Wahrscheinlichkeit, aus Urne 1 die rote Kugel zu ziehen

MAL

Wahrscheinlichkeit, aus Urne 2 eine rote Kugel zu ziehen.

Und worauf kommst du?
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:54 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Ich komme auf das Ergebnis
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

12:57 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Also ich nicht :-)

Die Wahrscheinlichkeit, aus Urne 1 die rote Kugel zu ziehen ist .

Die Wahrscheinlichkeit, aus Urne 2 eine rote Kugel zu ziehen ist .

.

Kriegst du das jetzt mit dem Erwartungswert noch hin? :-)
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

12:58 Uhr, 07.01.2011

Antworten
aber in Urne 1 sind doch 6 Kugeln?
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

13:06 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Entschuldige vielmals, jetzt habe ich nen Bock geschossen :-)

Die Wahrscheinlichkeit aus Urne 1 eine rote Kugel zu ziehen ist .
Die Wahrscheinlichkeit aus Urne 2 eine rote Kugel zu ziehen ist .

Die Wahrscheinlichkeit aus beiden Urnen jeweils eine rote Kugel zu ziehen ist demzufolge:

.

Somit hast Du vorhin Recht gehabt.

Mea culpa :-)
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

13:08 Uhr, 07.01.2011

Antworten
So ich berechne jetzt den Erwartungswert
100€

das ist ja der gleiche Wert wie in Aufgabe
Antwort
AndreasBL

AndreasBL aktiv_icon

13:14 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Genau so ist.
Und kannst du nun auch noch sagen, was das genau bedeutet?

Wenn du das weißt, hast du den Sinn des Erwartungswertes verstanden :-)
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

13:53 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Also, die Erwartungswahrscheinlichkeit beider Spiele sind gleich. as heißt, dass beide Spiele pro Spiel einen durchschnittlichen Gewinn von 3,33€ ergeben.
Also bleibt es an sich gleich, für welches Spiel man sich entscheidet.
Frage beantwortet
Samira1992

Samira1992 aktiv_icon

14:39 Uhr, 07.01.2011

Antworten
Habe Dank!!