Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wahrscheinlichkeiten gleiche Zahlen in Zahlenreihe

Wahrscheinlichkeiten gleiche Zahlen in Zahlenreihe

Universität / Fachhochschule

Tags: Wahrscheinlichkeit

mr-ahnungslos aktiv_icon

11:43 Uhr, 30.11.2023

Ich bin mathematisch zwar interessiert aber scheitere gerade an einer Aufgabe. ChatGpt und GoogleBard waren dabei auch nicht hilfreich. Mathe können die wohl auch nicht..

Ich habe 2 Zahlenreihen bei denen ich Wahrscheinlichkeiten berechnen möchte.
Die eine Reihe ist 7 stellig und die andere 8 stellig. Es handelt sich um Zufällige Zahlen.
Ich möchte jetzt ermitteln wie hoch gewisse Wahrscheinlichkeiten liegen.

Was ich ermitteln möchte ist die Wahrscheinlichkeit von:

3 gleichen Zahlen
3 gleichen Zahlen und weiteren 3 gleichen Zahlen
4 gleichen Zahlen
4 gleichen Zahlen und weiteren 2 gleichen Zahlen
4 gleichen Zahlen und weiteren 3 gleichen Zahlen
4 gleichen Zahlen und weiteren 4 gleichen Zahlen (geht natürlich nur bei der 8stelligen Zahl)
5 gleichen Zahlen
5 gleichen Zahlen und weiteren 2 gleichen Zahlen
5 gleichen Zahlen und weiteren 3 gleichen Zahlen (geht natürlich nur bei der 8stelligen Zahl)
6 gleichen Zahlen
6 gleichen Zahlen und weiteren 2 gleichen Zahlen (geht natürlich nur bei der 8stelligen Zahl)
7 gleichen Zahlen
8 gleichen Zahlen

Dabei spielt die Reihenfolge der Zahlen keine Rolle es müssen nicht die ersten gleich sein oder ähnliches..

Hat irgendjemand vielleicht eine Formel mit der man das hinkriegen kann. Es sollte eigentlich nicht schwer sein, doch ich verzweifel gerade daran...

Ich danke euch schonmal im Voraus!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

calc007

12:25 Uhr, 30.11.2023

Hallo
Zunächstmal sollten wir ja klarstellen, was du eigentlich meinst.
Dürfen wir recht in der Annahme gehen, dass

>

du von Dezimal-Zahlen sprichst, also den Ziffern

0 - 9,

>

du eigentlich Ziffern meinst, wenn du von Zahlen sprichst,

"3 gleichen Zahlen"
Was soll das bedeuten, insbesonder wenn wir berücksichtigen, dass du wenig später sprichst, von
"Dabei spielt die Reihenfolge der Zahlen keine Rolle"
Soll das heißen, dass genau drei Ziffern, die in der einen (7-stelligen Reihen-) Zahl vorkommen auch genau in dieser Häufigkeit in der anderen (8-stelligen Reihen-) Zahl vorkommen, und alle anderen Ziffern der einen Zahl paarweise verschieden zu den Ziffern der anderen Zahl?
also

z . B

0123456

65888888

?

"3 gleichen Zahlen und weiteren 3 gleichen Zahlen"
gib mal bitte ein Beispiel.

HAL9000

12:27 Uhr, 30.11.2023

Was meinst du mit "zufällige Zahlen"? Redest du von zufälligen Ziffern, mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit aus

{0, 1, \dots, 9}

gewählt ? Oder nur aus

{1, 2, \dots, 9}

?

Das solltest du schon unmissverständlich klarstellen.

Mir fehlt außerdem noch die Information, ob es nicht genannte implizite Forderungen an die nicht genannten Ziffern gibt:

D.h., soll "3 gleiche Ziffern" heißen, dass die restlichen fünf Ziffern davon sowie untereinander alle verschieden sind? Oder sind evtl. Paare darunter erlaubt? Oder gar "3 gleich, und die anderen 5 auch untereinander gleich"? Das sollte alles ein wenig genauer aufgeschlüsselt werden, denn es ist unerlässlich für die Anzahl- bzw. Wahrscheinlichkeitsberechnung.

mr-ahnungslos aktiv_icon

14:23 Uhr, 30.11.2023

Also die Dezimal-Ziffern liegen zwischen 0 und 9.

Ich geb am Besten ein Beispiel um das zu verdeutlichen was ich meine.

7 Stellig:

2259922

Das wäre jetzt eine
4 gleiche Ziffern und weitere 2 gleiche Ziffern

Oder halt das gleiche mit 8 Ziffern:

22599227

Wie wären da die Wahrscheinlichkeiten für. Ich nehme an dass die Wahrscheinlichkeit bei 8 Ziffern höher liegt..

Wenn ich von 3 gleichen Ziffern spreche, meine ich dass genau 3 gleich sind und die übrigen alles andere sind, nur nicht der Ziffer der 3 gleichen entsprechen.

Dabei spielt es keine Rolle wie die Anordnung ist.

2222995

oder

5929222

wären das gleiche. In beiden kommt ja 4 mal die 2 und 2 mal die 9 vor.

Ich hoffe dass ich mögliche Unklarheiten aus dem Weg räumen konnte.

PS danke für die schnelle Reaktion.

mr-ahnungslos aktiv_icon

14:29 Uhr, 30.11.2023

"Mir fehlt außerdem noch die Information, ob es nicht genannte implizite Forderungen an die nicht genannten Ziffern gibt:

D . h .,

soll "3 gleiche Ziffern" heißen, dass die restlichen fünf Ziffern davon sowie untereinander alle verschieden sind? Oder sind evtl. Paare darunter erlaubt? Oder gar "3 gleich, und die anderen 5 auch untereinander gleich"? Das sollte alles ein wenig genauer aufgeschlüsselt werden, denn es ist unerlässlich für die Anzahl- bzw. Wahrscheinlichkeitsberechnung."

Also 3 gleiche heißt die Restlichen können alles andere sein, Paare oder sonst was, nur nicht die gleiche Ziffer wie die 3 gleichen haben.

Beispiel

3135378

3 x 3

HAL9000

14:38 Uhr, 30.11.2023

Also zählt 4447777 auch darunter, denn da haben wir dreimal die 4, und der Rest ist ja egal, solange Ziffer 4 dort nicht mehr vorkommt.

Das ist doch ein Wort, auch wenn es dadurch zu massiven Überschneidungen zwischen deinen o.g. Fällen kommt.

mr-ahnungslos aktiv_icon

14:12 Uhr, 15.12.2023

Ja Moin, dauert wohl noch...

HAL9000

14:47 Uhr, 15.12.2023

> Ja Moin, dauert wohl noch...

Stimmt, deine Bestätigung hat ganz schön gedauert, über zwei Wochen. Na dann scheint das ganze ja auch nicht so wichtig zu sein...

---------------------------------------------------------------

Ok, betrachten wir Reihen mit genau

n

Ziffern, davon gibt es insgesamt

1 0^{n}

.

Jetzt wollen wir die Reihen zählen, wo es eine Ziffer gibt, die genau

k

-mal vorkommt:

Es gibt genau

(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot 9^{n - k}

solche Ziffernreihen, wo eine BESTIMMTE vorgegebene Ziffer genau

k

-mal vorkommt. Leider kann man diese Anzahl nur dann einfach mit 10 multiplizieren, wenn gesichert ist, dass diese Mengen von Ziffernreihen für verschiedene Vorgabeziffern auch tatsächlich disjunkt sind! Das ist nur für

k > \frac{n}{2}

der Fall.

Für andere

k

muss man diese nichtleeren Schnitte berücksichtigen, z.B. mit dem Prinzip von Inklusion und Exklusion. Wir erhalten dort dann folgende Anzahl:

N_{n, k} = \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} {(- 1)}^{j} (\begin{array}{c} 10 \\ j \end{array}) \cdot \frac{n!}{k!^{j} \cdot (n - j k)!} \cdot (10 - j)^{n - j k}

Klingt erstmal gewaltig, kann man allerdings "runterbrechen":

10 \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot 9^{n - k} - 45 \cdot \frac{n!}{k!^{2} \cdot (n - 2 k)!} \cdot 8^{n - 2 k} + 120 \cdot \frac{n!}{k!^{3} \cdot (n - 3 k)!} \cdot 7^{n - 3 k} \mp \dots

Also z.B.

n = 7

mit insgesamt

1 0^{7} = 10 000 000

Zahlenreihen:

k = 3

10 \cdot \frac{7!}{3! 4!} \cdot 9^{4} - 45 \cdot \frac{7!}{3!^{2} 1!} \cdot 9^{1} = 2 296 350 - 56 700 = 2 239 150

k = 4

10 \cdot \frac{7!}{4! 3!} \cdot 9^{3} = 255 150

k = 5

10 \cdot \frac{7!}{5! 2!} \cdot 9^{2} = 17 010

k = 6

10 \cdot \frac{7!}{6! 1!} \cdot 9^{1} = 630

k = 7

10 \cdot \frac{7!}{7! 0!} \cdot 9^{0} = 10

Das sind aber wie gesagt nur die einfachen Bedingungen "

k

gleiche Ziffern", wo nur berücksichtigt wird, dass die anderen

n - k

Ziffern davon verschieden sind, aber nicht notwendig auch untereinander verschieden!

KL700 aktiv_icon

14:50 Uhr, 15.12.2023

Ich komme auf

8er-Reihe:
3 gleiche Ziffern mit Reihenfolge (willkürlich, keine Blöcke)

\frac{10 \cdot 9^{5} \cdot \frac{8!}{3! \cdot 5!}}{10^{8}}

4 gleiche und 3 andere gleiche:

\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{8!}{4! \cdot 3! \cdot 2!}}{10^{8}}

HAL9000

14:59 Uhr, 15.12.2023

@KL700

Das ist aber nicht ganz richtig: Du zählst z.B. eine Reihe wie 00011123 doppelt: Einmal für Dreifach-Ziffer 0 und dann nochmal für Dreifachziffer 1. Diese Mehrfachzählerei wird korrigiert durch die Inklusion-Exklusion-Formel, d.h.

10 \cdot \frac{8!}{3! 5!} \cdot 9^{5} - 45 \cdot \frac{8!}{3!^{2} 2!} \cdot 8^{2} = 33 067 440 - 1 612 800 = 31 454 640

.

EDIT: In der Inklusion-Exklusion-Formel oben habe ich einen Vorzeichenfehler - es muss

{(- 1)}^{j - 1}

statt

{(- 1)}^{j}

heißen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1580042

1579431

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?