Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Wahrscheinlichkeitsaufgabe

Wahrscheinlichkeitsaufgabe

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
birdbox

birdbox

16:44 Uhr, 04.11.2017

Antworten
Hallo, ich hänge bei einer Aufgabe:

Gegeben ist ein Codewort mit 8 Bits, in dem genau ein Bit gleich 1 ist.
In jedem Bit treten unabhängig Bitfehler mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 auf. Dadurch kann z.B. aus dem korrekten Codewort 00010000 das Codewort 10000100 werden, indem das 1., 4. und 6. Bit kippt.
Berechne:

a) die Anzahl der möglichen, der korrekten und der inkorrekten Codewörter

b) die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Codewort mindestens ein Bitfehler auftritt

c) die Wahrscheinlichkeit, dass durch solche Bitfehler aus einem korrekten Codewort wieder ein korrektes Codewort entsteht

d) die Wahrscheinlichkeit, dass ein (gegebener) Bitfehler nicht erkannt wird, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Codewort korrekt ist unter der Voraussetzung, dass es fehlerbehaftet ist.

Okay, also:

a) 2^8 = 256 ist die Anzahl der möglichen CW, es gibt 8 korrekte CW und 256-8=248 inkorrekte CW.

b) Hier würde ich es mit der Gegenwahrscheinlichkeit machen, also 1 - P("kein Bitfehler"). Da die Bitfehler pro Bit unabhängig sind, würde ich sagen 1 - (0.9 * 0.9 * ... * 0.9), da 0.9 die Wahrscheinlichkeit pro Bit ist, dass kein Fehler auftritt, also 1-0.98=0.5695

Bei c) und d) habe ich keine Ahnung, freue mich auf Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:58 Uhr, 04.11.2017

Antworten
a) und b) sind OK

Bei c) kann das Ereignis auf zwei Arten eintreten:
1) Es tritt kein Bitfehler auf und das Wort wird korrekt übertragen. Ich bin mir aber nicht sicher, ob die Aufgabenstellung "dass durch solche Bitfehler aus einem korrekten Codewort wieder ein korrektes Codewort entsteht" diesen Fall inkludiert, da ja kein Bitfehler auftritt. In der Praxis wäre er aber relevant. OK, in der Praxis würde man eine Leitung mit 10%iger WKT für einen Bifehler einfach nur kappen und erneuern.
2) Es fallen genau zwei Bit um, nämlich das, welches im Original 1 ist und einer der 7 Nullen.


Bei d) denke an Bayes. Du benötigst dafür die Ergebnisse von b) und c2)

birdbox

birdbox

17:21 Uhr, 04.11.2017

Antworten
Vielen Dank für deine Antwort, leider tue ich mir noch sehr schwer mit Wahrscheinlichkeiten.

c1) hätten wir ja schon, also 0.4305 und das addieren wir mit c2)
Also es müssen genau 2 Bits kippen, d.h. 6 kippen nicht und 2 schon also, 0.120.96=0.0053
c) wäre dann also 0.4305+0.0053=0.4358, kann das sein?

Ich kenn Bayes nur mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, also wenn man P(ABi) und P(Bi) hat kann man P(BiA) berechnen. Ich kann mir schon vorstellen, dass das irgendwie was damit zu tun hat, aber leider nicht genau wie.
Antwort
Roman-22

Roman-22

18:47 Uhr, 04.11.2017

Antworten
> kann das sein?
Nein, nicht ganz-
Es muss ja ein ganz bestimmtes Bit kippen und dann noch irgend eines von 7. Für letzteres gibt es daher 7 Möglichkeiten. Daher musst du deine 0.0053 noch mit 7 multiplizieren, damit es passt.

> also wenn man P(A∣Bi) und P(Bi) hat kann man P(Bi∣A) berechnen.
Irgendwie und überhaupt und was auch immer Bi sein soll.
Bayes besagt doch nur P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) und daraus folgt zB

P(A|B)=P(AB)P(B)

Und jetzt setze
A... Das empfangene Code-Wort ist korrekt (im Sinne von: enthält genau eine 1).
B... Es ist mindestens ein Bitfehler aufgetreten

P(AB)= Aufgabe c2)
P(B)= Aufgabe b)

Es ergibt sich also bei d), dass die WKT, dass ein Übertragungsfehler nicht entdeckt wird, ca. 6,5% ist.

Beachte, dass das etwas anderes ist als die Frage nach der WKT dafür, dass ein empfangenes Byte mit nur einem 1-Bit trotzdem falsch übertragen wurde. Die WKT, dass dieses richtig aussehende Byte falsch ist, beträgt 7,95%. Lässt sich ebenfalls nach Bayes mit P(c2)P(c) berechnen ;-)


birdbox

birdbox

19:33 Uhr, 04.11.2017

Antworten
Vielen Dank!!! Hat mir sehr geholfen, eine Frage habe ich aber noch. Du hast geschrieben P(AB)= Aufgabe c2. Aber wäre P(AB)=P("CW ist korrekt" "mind. 1 Bitfehler") nicht die ganze Aufgabe c) ?

//edit: Und noch was, wir wissen ja P(A)=8256 und P(B)=0.5695.
Kann man nicht sagen: P(AB)=P(A)P(B) da sie ja voneinander unabhängig sind und somit ist P(AB)=P(A)?
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:38 Uhr, 04.11.2017

Antworten
> Aber wäre P(A∩B)=P("CW ist korrekt" ∣ "mind. 1 Bitfehler") nicht die ganze Aufgabe c)
Nein. Zum einen ist P(AB) keine bedingte WKT, sondern die WKT P(empfangenes CW korrekt UND Bitfehler aufgetreten) und das ist c2).
Vielleicht gefällt dir die Schreibweise P(AB) besser als P(AB).
Die ganze Aufgabe c) war P(empfangenes CW korrekt), also P(A)=P(AB¯)+P(AB).

> Kann man nicht sagen: P(A∩B)=P(A)⋅P(B) da sie ja voneinander unabhängig
Warum meinst du, dass A und B unabhängig sind? Das sind sie sicher nicht!
Das Auftreten von A (korrektes CW empfangen) ist doch ein starkes Indiz dafür, dass B (mind 1 Bitfehler) mit großer Wkt nicht eingetreten ist.

Anders gesagt. P(A)46,76681%, aber P(A|B)6,53182%. Das ist wohl ein Unterschied.
Oder auch: P(B)56,95328%, aber P(B|A)7,95455%
Die WKT, dass ein Fehler auftritt, ist bei dieser Katastrophenleitung fast 57%. Wenn aber ein korrektes Kodewort empfangen wurde, ist die WKT, dass ein Fehler aufgetreten ist nur mehr knapp 8%.
Die beiden Ereignisse sind also zweifelsfrei sogar sehr stark voneinander abhöngig.
Frage beantwortet
birdbox

birdbox

20:57 Uhr, 04.11.2017

Antworten
Okay, alles klar. Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!!