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Wahrscheinlichkeitsaufgabe ohne Zurücklegen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Wahrscheinlichkeit, Zurücklegen

Mario1993 aktiv_icon

19:48 Uhr, 22.08.2012

Hallo, habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:
In einer Urne liegen 2 blaue

(B 1, B 2)

und 3 rote Kugeln

(R 1, R 2, R 3)

. Mit einem Griff werden drei der Kugeln gezogen. Stellen Sie mithilfe von Tripeln eine Ergebnismenge Omega auf. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
E1:Es werden mindestens 2 blaue Kugeln gezogen
E2:Alle gezogenen Kugeln sind rot
E3:Es werden mehr rote als blaue Kugeln gezogen

Bei der Ergebnismenge sind, mit Zurücklegen,

5 x 4 x 3

Ergebnisse möglich, welche Ergebnisse sind nun ohne Zurücklegen möglich? Stoße immer wieder im Internet bei der Aufgabe auf

10

verschiedene Kombinationsmöglichkeiten mit einer Berechnung, die Berechnung, wie man auf

10

kommt ist im Buch aber erst später aufgeführt (sind erst im 1. kapitel des neuen mathebuches).

habe zb die möglichkeit gefunden
1.

(B 1, B 2, R 1)

(B 1, B 2, R 2)

(B 1, B 2, R 3)

(B 1, R 1, R 2)

(B 1, R 1, R 3)

(B 1, R 2, R 3)

(B 2, R 1, R 2)

(B 2, R 1, R 3)

(B 2, R 2, R 3)

10

(R 1, R 2, R 3)

wieso wird bei 1 zb nicht berücksichtigt dass man auch

B 1,

dann

R 1

und erst dann

B 2

ziehen könnte? oder wieso wird 6 mal angenommen, dass

b 1

zuerst gezogen wird? man könnte genauso gut auch

6 x

zuerst

b 2

ziehen und diese anzahl zu der

10

hinzuzählen...verstehe die vorgehensweise nicht

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

20:02 Uhr, 22.08.2012

Beim Ziehen mit einem Griff ist die Reihenfolge egal ! Zurücklegen ist Unsinn ! Also musst du alle Tripel auflisten. Als Vorbild kann die hypergeometrische Verteilung wie

z . B

. beim Lotto gelten:

drei rote gibt es nur

1 x

zwei rote, 1 blaue gibt es

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = 3 \cdot 2 = 6 x

eine rote, 2 blaue gibt

3 x

(jede rote jeweils mit beiden blauen 3 blaue geht nicht, weil nur 2 vorhanden sind

alle möglichen Tripel sind

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = 10,

was zu

1 + 6 + 3

passt

jetzt einfach Zahl der günstigen durch alle

10

möglichen

p (E 1) = 0,3

p (E 2) = 0,1

p (E 3) = 0,1 + 0,6 = 0,7

Mario1993 aktiv_icon

20:12 Uhr, 22.08.2012

wieso ist die reihe egal? wenn ich 2 würfel habe und es um die höhe der augensumme geht, dann wird ja auch zb

1,4

und

4,1

aufgelistet im ergebnisraum

hagman aktiv_icon

20:17 Uhr, 22.08.2012

5 \cdot 4 \cdot 3

ist nicht "mit Zurücklegen", sondern "ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge". Da hier mit einem Griff gezogen wird, kann es unter den drei Kugeln keine Doppelten geben, es handelt sich also auf jeden Fall um "ohne Zurücklegen". Da es innerhalb der gezogenen Kugeln nicht auf die Reihenfolge ankommt (es gibt keine zuerst / zuletzt gezogene Kugel), müsste man die

5 \cdot 4 \cdot 3

Möglichkeiten noch durch die

3 \cdot 2 \cdot 1

Reihenfolgen von drei Kugeln teilen. So kommt man auf die

10

. Wenn ihr diesen Schritt noch nicht könnt, bleibe bei

5 \cdot 4 \cdot 3

als "mögliche Fälle". Man muss dann aber such die Zählung der "günstigen Fälle entsprechend alle Reihenfolgen beachten:

E 1 :

Mindestens 2 blaue (was hier automatisch genau zwei blaue bedeutet):
Günstig sind die Reihenfolgen

B B R, B R B

und

R B B

mit jeweils

2 \cdot 1 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 1,3 \cdot 2 \cdot 1

Möglichkeiten, macht jeweils

6,

zusammen

18

. Somit

P (E_{1}) = \frac{18}{60} = \frac{3}{10}

E 2 :

Günstig ist nur die Reihenfolge

R R R

mit

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Möglichkeiten, also

P (E_{2}) = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}

E 3 :

Günstig sind

B R R, R B R, R R B

und

R R R,

insgesamt

P (E_{3}) = \frac{12 + 12 + 12 + 6}{60} = \frac{7}{10}

.
Wie du siehst, haben alle drei Wahrscheinlichkeiten nur

10

und nicht

60

im Nenner. Das kommt nicht von ungefähr, sondern weil die erst in einem späteren Kapitel erscheinende

10

durhcaus ihre Berechtigung hat.

Mario1993 aktiv_icon

20:19 Uhr, 22.08.2012

und wie kommst du auf die reihenfolge

3 x 2 x 1

? weil es erst 3 kugeln sind, dann nur noch 2 (wenn man die erste gezogene betrachtet) und dann nur noch 1?

Mario1993 aktiv_icon

20:21 Uhr, 22.08.2012

und wieso ist die reihenfolge egal? wenn ich 2 würfel schmeiße und die zeitgleich eine zahl zeigen, dann wurden bei meinen bisherigen berechnungen nichtsdestotrotz auch

1,4

und

4,1

(zb) berücksichtigt, obwohl, wenn es zb um die augensumme ging, bei beiden fällen 5 rauskommt...

Matlog aktiv_icon

01:46 Uhr, 23.08.2012

Die Ausgangssituation:
In einer Urne liegen 2 blaue

(B 1, B 2)

und 3 rote Kugeln

(R 1, R 2, R 3)

. Mit einem Griff werden drei der Kugeln gezogen.

Bei einer solchen Aufgabenstellung kannst Du für Dich entscheiden, wie Deine Ergebnismenge

Ω

aussehen soll.
Wenn Dir die Reihenfolge der drei gezogenen Kugeln egal ist, dann besteht

Ω

aus 3-elementigen Mengen. Es gibt dann genau die

10

Elemente

1 ., 2 ., ..., 10 .,

die Du oben aufgeführt hast. Allerdings sollte man dort Mengenklammern verwenden. In Mengen ist die Reihenfolge der Elemente ja egal, in Tripeln nicht.

Allerdings wurde in Deiner Aufgabenstellung ja die Verwendung von Tripeln gefordert. Dann ist die Reihenfolge wichtig und

Ω

besteht aus

5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

Tripeln.
Du könntest jetzt alle

60

Tripel aufschreiben und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen berechnen. Das wäre okay, aber recht mühevoll. Deshalb hat hagman die jeweilige Anzahl der günstigen Fälle quasi argumentativ bestimmt, was mit etwas Erfahrung viel schneller geht.

Man könnte bei dieser Aufgabe auch auf dem Standpunkt stehen, dass die Nummern der Kugeln für die gesuchten Ereignisse irrelevant sind, nur die Farbe ist wichtig. Die Ergebnismenge bestünde dann aus

z . B

. "3 rote", "2 rote und 1 blaue", "1 rote und 2 blaue". Dann hätte man allerdings ein großes Problem: die Ergebnisse sind nicht mehr alle gleich wahrscheinlich (Laplace-Experiment) und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten darf man nicht mehr mit (Anzahl der günstigen Fälle)/(Anzahl der möglichen Fälle) berechnen.

Die

10

Mengen oben und die

60

Tripel sind aber alle gleich wahrscheinlich!

Jetzt der Vergleich zu Deinen beiden Würfeln, wo man sich eigentlich nur für die Augensumme interessiert.
Man könnte sich als Ergebnismenge die Zahlen von 2 bis

12

nehmen. Aber natürlich sind die nicht gleich wahrscheinlich.
Man könnte auch wieder 2-elementige Mengen nehmen, da man die beiden Würfel sowieso nicht unterscheiden kann. Doch es entsteht ein Problem:

{1,4}

hat nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit wie jeder Pasch,

z . B

{6,6}

(die Wahrscheinlichkeit eines Paschs ist nur halb so groß); also wieder kein Laplace-Experiment. Deshalb muss man hier geordnete Zahlenpaare nehmen, um ein Laplace-Experiment zu bekommen.

Wo liegt der Unterschied in den beiden Beispielen: Bei Deinen Würfeln kann eine Zahl doppelt gewürfelt werden, bei Deinen fünf Kugeln kann keine mehrfach vorkommen.

So, jetzt habe ich viel mehr geschrieben, als ich eigentlich wollte. Aber vielleicht hilft es Dir ja weiter...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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