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Wahrscheinlichkeitsdichte/-funktion transformiert

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

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23:51 Uhr, 10.04.2019

Hallo Leute. Ich sitze jetzt schon fast eine Stunde und mir fehlt jeglicher Lösungsansatz. Könnt ihr mir bitte helfen? Merci!

Gegeben ist eine Funktion

y = g (x) = x^{2}

und die Wahrscheinlichkeitsdichte: fX(x)

= \frac{1}{x_{0}}

· rect

(\frac{x}{x_{0}})

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fY(y) der Zufallsvariablen

y = g (x)

und skizzieren Sie diese Funktion.

b)

Berechnen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung FY(y).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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03:00 Uhr, 11.04.2019

Hallo,

mit folgender Beziehung kannst du die Verteilung in eine Gleichverteilung überführen.

f_{X} (x) = {\begin{array}{rcl} \frac{1}{b - a} & , & a \leq x \leq b \\ 0 & , & sonst \end{array} = \frac{1}{\sqrt{12 σ^{2}}} \cdot rect (\frac{x - μ}{\sqrt{12 σ^{2}}})

Du musst nur die Koeffizienten vergleichen. Was ist z.B. der Erwartungswert (

μ

)und die Varianz (

σ^{2}

) einer Gleichverteilung?

Gruß

pivot

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21:37 Uhr, 12.04.2019

Danke pivot. Habe ich soweit verstanden:

μ = 0

und

σ^{2} = \frac{x_{0}^{2}}{12}

. Aber ich verstehe noch nicht, wie mir das weiterhelfen soll die Wkt.-verteilung

F_{Y} (y)

bzw. -dichte

f_{Y} (y)

zu berechnen. VG

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22:12 Uhr, 12.04.2019

Ich wollte erst einmal die Verteilung von X in einer praktikablen Form darstellen (linke Seite). Der Erwartungswert ist in der Tat gleich

0

. Das heißt, dass

\frac{a + b}{2} = 0 (1)

. Und vergleicht man die Terme im Nenner hat man

x_{0} = \sqrt{12 σ^{2}} = \sqrt{12 \cdot \frac{(b - a)^{2}}{12}} = b - a (2)

. Die beiden Gleichungen verwendet man, um a bzw. b zu bestimmen.

Aus der ersten Gleichung erhält man

a = - b

. In die zweite Gleichung eingesetzt ergibt sich:

x_{0} = - 2 a \Rightarrow a = - \frac{x_{0}}{2}

. Und damit

b = \frac{x_{0}}{2}

. Wie

f (x)

jetzt aussieht, das sollte klar sein.

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08:34 Uhr, 13.04.2019

Danke pivot. Ja, soweit klar, dass

f_{X} (x) = \frac{1}{x_{0}}

für

- \frac{x_{0}}{2} < x < \frac{x_{0}}{2}

bzw.

f_{X} (x) = \frac{1}{2 \cdot x_{0}}

für

| x | = \frac{x_{0}}{2}

. Wie geht es weiter?

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19:01 Uhr, 13.04.2019

Sieht gut aus. Ich habe meinen Beitrag aber gelöscht, da ich einen Fehler hatte.

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09:41 Uhr, 14.04.2019

Hey pivot. Aber wie komme ich auch

f_{Y} (y)

und

F_{Y} (y)

? VG

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20:47 Uhr, 17.04.2019

Keiner?

; (

HAL9000

07:20 Uhr, 18.04.2019

Ok, im Beitrag 13.04.2019, 8:34 hast du ja dann erklärt, was du mit "rect" meinst, es geht also um Dichte

f_{X} (x) = {\begin{array}{ll} \frac{1}{x_{0}} & für ∣ x ∣ < \frac{x_{0}}{2} \\ 0 & für ∣ x ∣ > \frac{x_{0}}{2} \end{array}

(der Wert an den Stellen

∣ x ∣ = \frac{x_{0}}{2}

ist egal für die Verteilung). Die zugehörige Verteilungsfunktion ist

F_{X} (x) = {\begin{array}{ll} 0 & für x \leq - \frac{x_{0}}{2} \\ \frac{x}{x_{0}} + \frac{1}{2} & für ∣ x ∣ < \frac{x_{0}}{2} \\ 1 & für x \geq \frac{x_{0}}{2} \end{array}

Zufallsgröße

Y = g (X)

hat nun für

y > 0

die Verteilungsfunktion

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (∣ X ∣ \leq \sqrt{y}) = P (- \sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) - F_{X} (- \sqrt{y})

letzteres, weil

X

stetig verteilt ist. Insgesamt haben wir daher

F_{Y} (y) = {\begin{array}{ll} 0 & für y \leq 0 \\ \frac{2 \sqrt{y}}{x_{0}} & für 0 < y < \frac{x_{0}^{2}}{4} \\ 1 & für y \geq \frac{x_{0}^{2}}{4} \end{array}

.

Die Dichte

f_{Y}

entspricht nun f.ü. der Ableitung dieser Verteilungsfunktion:

f_{Y} (x) = {\begin{array}{ll} \frac{1}{x_{0} \sqrt{y}} & für 0 < y < \frac{x_{0}^{2}}{4} \\ 0 & sonst \end{array}

.

P.S.: Der Transformationssatz

f_{Y} (y) = ∣ (g^{- 1}) ʹ (y) ∣ \cdot f_{X} (g^{- 1} (y))

ist hier übrigens NICHT anwendbar, da dieser strenge Monotonie von

g

voraussetzt, und die ist im vorliegenden Fall

g (x) = x^{2}

ja nicht erfüllt.

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20:27 Uhr, 18.04.2019

Hallo pivot und HAL9000. Danke Euch Beiden für die Hilfestellung. Hat zwar ein Weilchen gedauert, aber jetzt habe ich es 100%ig verstanden. MERCI!

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