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Wahrscheinlichkeitsdichte nachweisen

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Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: stetige verteilung, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Zufallsvariablen

Student96 aktiv_icon

22:52 Uhr, 21.05.2018

Hallo,
Die Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet ist diese hier.
Es sei

X

eine reelle Zufallsvariable mit einer stetigen Verteilung und Wahrscheinlichkeitsdichte:

f_{X} (x) = \frac{x^{- 3}}{2},

falls

x > 1

0,

sonst

Nun soll geprüft werden ob

f_{X}

tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Dafür müsste bewiesen werden, dass:

\int_{1}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1

gilt.
Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus.

\int_{1}^{\infty} \frac{x^{- 3}}{2} d x = {[- \frac{x^{- 2}}{4}]}_{0}^{\infty} = 0 + \frac{1}{4}

Da das Ergebnis nicht 1 ist, wäre es ja dann keine Wahrscheinlichkeitsdichte. Ein kurzer Kommentar über die Richtigkeit bzw. nicht Richtigkeit meiner Rechnung würde schon reichen, da ich mir leider nicht sicher bin ob ich alles berücksichtigt habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:58 Uhr, 21.05.2018

Deine Folgerung ist durchaus richtig. Es handelt sich nicht um die Dichtefunktion einer WKT-Verteilung

f (x) = 2 \cdot x^{- 3}

wäre hingegen eine gültige Dichtefunktion (wieder mit

f (x) = 0

für

x \leq 1)

.

Auch

f (x) = \frac{x^{- 3}}{2}

könnte eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichte sein, wenn man definiert, dass sie für

x > \frac{1}{2}

gelten soll und

f (x) = 0

für

x \leq \frac{1}{2}

ist.

Student96 aktiv_icon

08:19 Uhr, 22.05.2018

Danke für die schnelle Antwort!
Im zweiten Teil der Aufgabe soll man noch

E (| X - 2 |)

berechnen. Ich verstehe leider nicht ganz, wie man mit den Betragsstrichen umgehen soll.

pivot aktiv_icon

04:28 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

du musst erst einmal die Betragstriche auflösen:

X - 2

ist nicht negativ, wenn

X \geq 2

. Und

X - 2

ist negativ wenn

X < 2

: Hier muss man das Vorzeichen umdrehen:

- (X - 2) = 2 - X

für

X < 2

.

Für

X \geq 2

ist der eine Teil des Erwartungswert

\int_{2}^{\infty} (x - 2) \cdot f_{X} (x) d x = \int_{2}^{\infty} (x - 2) \cdot \frac{x^{- 3}}{2} d x

Und für Für

X < 2

ist der andere Teil des Erwartungswert

\int_{1}^{2} (2 - x) \cdot f_{X} (x) d x = \int_{1}^{2} (2 - x) \cdot \frac{x^{- 3}}{2} d x

Insgesamt gibt das

E (∣ X - 2 ∣) = \frac{1}{4}

Gruß

Pivot

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