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Wahrscheinlichkeitsdichte und Erwartungswert

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß

joebs90 aktiv_icon

11:47 Uhr, 14.03.2017

Hey Leute,

ich habe wieder eine neue Aufgabe zu lösen. Diesmal geht es um die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen und den Erwartungswert sowie Varianz.

Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

f (x) = c * e^{- ∣ x ∣}, c \in ℝ

X hat die Verteilungsdichte

f : ℝ \mapsto [0, \infty)

a. Für welches c ist f die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X? Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion. (Hinweis:

x \geq 0

und

x < 0

)

b. Annahme:

c = \frac{1}{2}

Wie hhoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 1 ist, unter der Bedingung, dass X größer als 1 ist?

c. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Kann mir jemand von euch vielleicht einen Tipp geben oder einen Punkt, wo ich ansetzen kann. Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran.

Vielen Dank und Gruß

Jo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:28 Uhr, 14.03.2017

Hallo,

was ist denn der Zusammenhang zwischen Dichte und Verteilungsfunktion?

Gruß pwm

joebs90 aktiv_icon

14:17 Uhr, 14.03.2017

Gute Frage.

Eine Verteilungsfunktion (

F (x)

) ist dafür zuständig, die Wahrscheinlichkeit anzuzeigen, dass eine Zufallsvariable x einen Wert

=

oder

\leq

x annimmt.

Eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist ebenfalls eine Funktion, mit folgenden Eigenschaften:

f (x) \geq 0

für alle

x \in ℝ

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

Für den Zusammenhang dieser beiden Funktionen bräuchte ich allerdings ein wenig Hilfe... :-)

Gruß

Jo

pwmeyer aktiv_icon

20:25 Uhr, 14.03.2017

Hallo,

"Für den Zusammenhang dieser beiden Funktionen bräuchte ich allerdings ein wenig Hilfe... :-)"

Was sagt denn Dein Skript dazu?

Gruß pwm

joebs90 aktiv_icon

13:46 Uhr, 15.03.2017

Also wenn ich die prüfen will, ob eine gegebene Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, prüfe ich auf die vorher beschrieben Eigenschaften:

Bedingung 1:

f (x) \geq 0

für alle

x \in ℝ

Bedingung 2:

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

Dafür leite ich also die gegebene

f (x)

"auf" und erhalte die

F (x)

. Ist die "aufgeleitete"

F (x)

dann meine Verteilungsfunktion?

Dann setze ich jeweils 0 und

\infty

ein und prüfe ob ich bei der Integrationsrechnung auf "1" komme (siehe Bedingung 2).

Ein anderer Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion ist mir nicht ersichtlich.

Gruß

Jo

pwmeyer aktiv_icon

18:00 Uhr, 15.03.2017

Hallo,

dann mach das mal für Deine Funktion. Dabei ist zu beachten:

Für

x \leq 0 : F (x) = c \cdot \int_{- \infty}^{x} e x p (t) d t

Für

x > 0 : F (x) = c \cdot (\int_{- \infty}^{0} e x p (t) d t + \int_{0}^{x} e x p (- t) d t)

Gruß pwm

joebs90 aktiv_icon

08:53 Uhr, 16.03.2017

Als Stammfunktion habe ich folgende:

- \frac{c * x * e^{- ∣ x ∣}}{∣ x ∣}

Für den Bereich von [

\infty

bis

0

] erhalte ich als "c" (1c).

Was muss ich für x (als Obergrenze) einsetzen?

Gruß

Jo

pwmeyer aktiv_icon

09:36 Uhr, 16.03.2017

Hallo,

diese Funktion ist bei 0 unstetig - berechne mal links- / rechtsseitgen Grenzwert, also keine Stammfunktion.

Ich habe Dir doch im letzten post die Stammfunktion

F (x)

aufgeschrieben, warum berechnest Du sie nicht?

Gruß pwm

joebs90 aktiv_icon

11:24 Uhr, 16.03.2017

Ich glaube da muss ich erstmal einige Stunden Grundlagen wiederholen. Ich habe mittlerweile leider keinen Schimmer mehr wie ich links- oder rechtsseitigen Grenzwert einer Funktion berechnen kann. :-)

Gruß

Jo

pwmeyer aktiv_icon

13:00 Uhr, 16.03.2017

Hallo,

um hier weiter zu kommen, kannst Du Deine Funktion ja einfach mal skizzieren (lassen).

Gruß pwm

anonymous

07:55 Uhr, 17.03.2017

Um das einfach mal ein wenig anzuschieben...
Mach es nicht zu kompliziert. Das bisher Geschriebene mag zwar formal richtig sein, zeigt aber, dass die vielen Formeln, Zahlen, Begriffen leider mehr Verwirrung als Klarheit gegeben haben.

1)

Ich kann dem Tipp nur folgen: Mach erst mal eine Skizze von der Funktion.

2)

Mach dir klar, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist.

3)

Mach dir klar, dass die Funktion proportional zur Größe "c" ist.

D . h

. sie 'rutscht' umso höher, je größer du

c

wählst.

4)

Beginne mit der 2. Bedingung. Die 2. Bedingung bedeutet doch, trivial gesagt, dass die Fläche unter der Funktion den Wert 1 haben muss.
Ja wunderbar. Dazu haben wir doch gerade die Größe

' c'

.
Suche das

' c',

das die Funktion so groß macht, dass die Fläche unter der Funktion gerade den Wert 1 hat.
Das sollte jetzt nicht mehr schwer sein.
Wenn du geschickt bist, nutzt du dazu die Symmetrie...

5)

Wenn du das erst mal hast, dann fällt dir die 1. Bedingung quasi in den Schoß.

joebs90 aktiv_icon

00:03 Uhr, 19.03.2017

Ich habe nun ein paar andere Aufgaben (ohne e-Funktion) durchgearbeitet und gelöst. Außerdem nochmal die Integralrechnung aufgefrischt. Für c habe ich den Wert "1" errechnet. Damit ist die 2. Bedingung erfüllt:

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x = 1

Wie weise ich die 1. Bedingung nach? (

f (x) \geq 0

)

Und wie berechne ich eine bedingte Wahrscheinlichkeit bei (Teilaufgabe b.)? Also

P (X < 1 ∣ X > 1) = ?

Erwartungswert- sowie Varianzberechnung habe ich in anderen Aufgaben mittlerweile schon abgefrühstückt :-)

Ich denke, das müsste so richtig sein:
Erwartungswert:

\int_{0}^{+ \infty} x * f (x) d x

Varianz:

E (X^{2}) - E (X)^{2}

Dafür ist es notwendig den quadrierten Erwartungswert zu berechnen ->

\int_{0}^{+ \infty} x^{2} * f (x) d x

Was meint ihr?

Gruß Jo

anonymous

00:28 Uhr, 19.03.2017

"Für

c

habe ich den Wert 1 errechnet."
Oh je, oh je. Willst du nicht nochmals in Ruhe und mit System...?

Es ist zwar richtig, dass

\int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{- x} \cdot d x = 1

aber das 2. Kriterium spricht doch nicht von

\int_{0}^{\infty}

sondern von

\int_{- \infty}^{\infty}

Also bitte, nochmals. Und wie gesagt, Symmetrie könnte die Dinge vereinfachen.

Wo ist deine Skizze?

"Wie weise ich die 1. Bedingung nach?"
Ganz einfach. Hast du schon mal gehört, dass eine Exponentialfunktion negativ wird?

Zum Erwartungswert:

1 .)

Wenn du unbedingt irgendwelche Integrale lösen willst, dann doch bitte wie oben:
nicht

\int_{0}^{\infty} . .

.
sondern

\int_{- \infty}^{\infty} . .

2 .)

Wer wieder die Symmetrie verstanden hat, der lacht sich tot, zur Reise zum Erwartungswert den Umweg über ein Integral zu suchen.

Sorry, dass ich in meiner Wortwahl so ein wenig stichelig werde. Ich habe immer noch den Eindruck, dass du wild irgendwelche Rechnungen und Formeln durchrechnest, ohne Sinn und Suche nach dem Verständnis dessen.

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