Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Dichtefunktion Summe von ZV

Dichtefunktion Summe von ZV

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Exponentialverteilung, Gleichverteilung, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Kathi-CA

Kathi-CA aktiv_icon

18:14 Uhr, 06.11.2019

Antworten
Hallo,

ich bereite mich gerade auf meine kommende Stochaklausur vor und bin dabei auf ein Problem bezüglich der Addition von stetigen Zufallsvariablen gestossen. Ich hoffe, ihr könnt mir einen Hinweis geben ;-)

Die Aufgabe lautet:

Berücksichtige Y=X+V, wobei X und V unabhängige Zufallsvariablen darstellen. X ist gleichverteilt auf dem Intervall [0,1]. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von V lautet:

fv(v)=e-v,v>0

Als Hinweis ist noch angegeben, dass wir die Einheitsfunktion nutzen sollen.

Ich möchte nun fY|X(y|x) berechnen.

Mein erster Ansatz ist es, fY(y) zu berechnen (über das Faltungsintegral):

fY(y)=f(x)fV(y-x)dx=

e-y(e-1) falls y>1

1-e-y falls 0<y<1

0 sonst

Dann wollte ich fX,Y(x,y) bestimmen und dabei die Unabhängigkeit nutzen. Hierbei ist mir jedoch aufgefallen, dass X und Y keine unabhängigen Zufallsvariablen sind und so habe ich den Gedanken wieder verworfen.

Hat irgendjemand einen Hinweis für mich? Ich wäre euch sehr dankbar, an der Aufgabe verzweifle ich leider...
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

23:07 Uhr, 06.11.2019

Antworten
Der Transformationssatz liefert die gemeinsame Dichte

fX,Y(x,y)=fX,V(x,y-x)=fX(x)fV(y-x)=e-(y-x) für 0x1 und yx,

für alle anderen x,y ist diese Dichte gleich Null.

fY ist davon die Randdichte, d.h. fY(y)=-fX,Y(x,y)dx, das hast du ja schon berechnet (ohne vielleicht zu merken, dass das die Randdichte ist).



Kathi-CA

Kathi-CA aktiv_icon

23:54 Uhr, 06.11.2019

Antworten
Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Das hilft mir auf jeden Fall schon einmal weiter.

Ich versuche jetzt daraus die bedingte Wahrscheinlichkeit abzuleiten, nach Definition:

fX|Y(x|y)=fx,y(x,y)fy(y).

Meine Idee ist es zwei Fälle daraus zu machen:

FALL 1:y[0,1]

fX|Y(x|y)=e-(y-x)1-e-y,x[0,1],y>x

FALL 2:y>1

fX|Y(x|y)=e-(y-x)e-y(e-1)=exe-1,x[0,1],y>x

Ist dies so richtig oder habe ich irgendwo noch einen Fehler drin? Siehst du einen einfacheren Weg als die Aufteilung in zwei Fälle (insbesondere weil ich zur Bestimmung des Schätzers über fX|Y(X|Y) integrieren möchte)?
Antwort
HAL9000

HAL9000

00:33 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Die Formeln sind soweit Ok, ich würde aber die Angabe der Gültigkeitsbereiche besser an die Fallbedingungen anpassen, sprich:


Fall 1 y[0,1]:

fXY(xy)=e-(y-x)1-e-y für x[0,y] .


Fall 2 y>1:

fXY(xy)=exe-1 für x[0,1] .


Für andere x-Werte sind diese bedingten Dichten gleich Null. Außerdem könnte man noch ketzerisch fragen: Was ist mit dem fehlenden Fall y<0 ?

Frage beantwortet
Kathi-CA

Kathi-CA aktiv_icon

03:50 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Super, vielen Dank für Deine Hilfe!
Falls es noch ein Update bzw. Lösung von meinem Professor geben sollte, werde ich hier ein Update posten...