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Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine kommende Stochaklausur vor und bin dabei auf ein Problem bezüglich der Addition von stetigen Zufallsvariablen gestossen. Ich hoffe, ihr könnt mir einen Hinweis geben ;-)
Die Aufgabe lautet:
Berücksichtige wobei und unabhängige Zufallsvariablen darstellen. ist gleichverteilt auf dem Intervall . Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von lautet:
Als Hinweis ist noch angegeben, dass wir die Einheitsfunktion nutzen sollen.
Ich möchte nun berechnen.
Mein erster Ansatz ist es, zu berechnen (über das Faltungsintegral):
falls
falls
0 sonst
Dann wollte ich bestimmen und dabei die Unabhängigkeit nutzen. Hierbei ist mir jedoch aufgefallen, dass und keine unabhängigen Zufallsvariablen sind und so habe ich den Gedanken wieder verworfen.
Hat irgendjemand einen Hinweis für mich? Ich wäre euch sehr dankbar, an der Aufgabe verzweifle ich leider...
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Der Transformationssatz liefert die gemeinsame Dichte
für und ,
für alle anderen ist diese Dichte gleich Null.
ist davon die Randdichte, d.h. , das hast du ja schon berechnet (ohne vielleicht zu merken, dass das die Randdichte ist).
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Das hilft mir auf jeden Fall schon einmal weiter.
Ich versuche jetzt daraus die bedingte Wahrscheinlichkeit abzuleiten, nach Definition:
.
Meine Idee ist es zwei Fälle daraus zu machen:
FALL
FALL
Ist dies so richtig oder habe ich irgendwo noch einen Fehler drin? Siehst du einen einfacheren Weg als die Aufteilung in zwei Fälle (insbesondere weil ich zur Bestimmung des Schätzers über integrieren möchte)?
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Die Formeln sind soweit Ok, ich würde aber die Angabe der Gültigkeitsbereiche besser an die Fallbedingungen anpassen, sprich:
Fall 1 :
für .
Fall 2 :
für .
Für andere -Werte sind diese bedingten Dichten gleich Null. Außerdem könnte man noch ketzerisch fragen: Was ist mit dem fehlenden Fall ?
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Super, vielen Dank für Deine Hilfe! Falls es noch ein Update bzw. Lösung von meinem Professor geben sollte, werde ich hier ein Update posten...
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