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Wahrscheinlichkeitsmaß

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

ole1988 aktiv_icon

00:12 Uhr, 14.09.2016

Suppose that

X_{1}, . . ., X_{n}

are independent with mean zero and finite variances. For

α > 0

, show that the following holds:

P (m a x_{1 \leq k \leq n} ∣ S_{k} ∣ \geq α) \leq \frac{1}{α^{2}} V a r (S_{n})

,

where

S_{i} = X_{1} + . . . + X_{i}

, for

1 \leq i \leq n

.

Ich habe mehrere Stunden probiert diese Ungleichung zu lösen, leider ohne Erfolg. Jetzt hoffe ich auf eure Hilfe. Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

06:49 Uhr, 14.09.2016

Einfache Anwendung der Tschebyschew-Ungleichung.

ole1988 aktiv_icon

00:51 Uhr, 15.09.2016

Hallo, ich bin mir sicher das meine Lösung fehlerhaft ist.

P (m a x_{1 \leq k \leq n} ∣ S_{k} ∣ \geq α) \leq \frac{E [m a x_{1 \leq k \leq n} S_{k}^{2}]}{α^{2}} = \frac{m a x_{1 \leq k \leq n} E [S_{k}^{2}]}{α^{2}} = \frac{m a x_{1 \leq k \leq n} V a r [S_{k}]}{α^{2}} = \frac{1}{α^{2}} V a r [S_{k}]

Fragwürdig für mich sind alle Schritte nach der Ungleichung. Wie gehe ich in diesem Fall mit dem Maximum um?
Danke

DrBoogie aktiv_icon

09:42 Uhr, 18.09.2016

Ne, das ist Quatsch.
Und leider ist der Beweis doch nicht so elementar.
Mann nennt diese Ungleichung Kolmogorow-Ungleichung,
den Beweis kannst Du z.B. hier nachlesen (10.6.3):
www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/lehre/ws12/WR/Skript_10.pdf

ole1988 aktiv_icon

22:42 Uhr, 18.09.2016

Danke für deine Antwort. Werde mit den Beweis mal bei Gelegenheit anschauen.

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