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Wahrscheinlichkeitsraum & Erwartungswert

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeitsmaß

anonymous

13:34 Uhr, 04.11.2019

hey :-)

ich stehe gerade vor einer inhaltlichen Frage..

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Es gibt 4 Würfel, die wie folgt sind:

grüner Würfel:

{3, 3, 3, 3, 3, 3} (W 1)

roter Würfel:

{5, 5, 5, 1, 1, 1} (W 2)

gelber Würfel:

{4, 4, 4, 4, 0, 0} (W 3)

blauer Würfel:

{2, 2, 2, 2, 6, 6} (W 4)

Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und

X :

Ω →

R

eine Abbildung, wobei

X = W 1

W 2

W 3

das zufällige Produkt der geworfenen Werte ist. Geben Sie eine mögliche Wahl für den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,

F, P)

an. Bestimmen Sie

X^{- 1} (a)

für alle

a \in R

und zeigen Sie damit, dass

X

eine messbare Abbildung ist.

Was genau versteht man unter dem Produkt von

W 1, W 2, W 3

?
In Aufgabenteil

b

sollen wir den Erwartungswerte von

X

und

Y,

wobei

Y = W 2 \cdot W 3 \cdot W 4,

berechnen..

Ich weiß zwar, wie der Erwartungswert definiert ist und errechnet wird, verstehe aber

X

und

Y

nicht..

Und wie gibt man einen Wahrscheinlichkeitsraum an? Was ist eine messbare Abbildung?

Suche erstmal allgemeine Hilfestellungen, danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:30 Uhr, 04.11.2019

> Was genau versteht man unter dem Produkt von W1,W2,W3?

Es werden die drei gewürfelten Augenzahlen von grünem, roten und gelben Würfel einfach miteinander multipliziert.

> Und wie gibt man einen Wahrscheinlichkeitsraum an?

Der Wahrscheinlichkeitsraum sollte alle möglichen Augenzahl-Ergebnisse beim parallelen Werfen dieser vier Würfel repräsentieren, naheliegenderweise als eine Menge der möglichen Ergebnis-Quadrupel, sowie auch deren Wahrscheinlichkeiten. Die Grundmenge dieses W-Raumes könnte hier beispielsweise

Ω = {3} \times {5, 1} \times {4, 0} \times {2, 6}

sein, d.h. mit

∣ Ω ∣ = 2^{3} = 8

Elementen. Dummerweise ist der W-Raum bei Wahl dieser Grundmenge nicht Laplacesch, d.h., die Quadrupel sind nicht gleichwahrscheinlich, eine genaue Aufschlüsselung dieser Wahrscheinlichkeiten ist etwas umfänglich (EDIT: obwohl, so schlimm kann es bei 8 Werten ja auch nicht sein). Das ist bei

Ω = {3} \times {5, 1} \times {4_{1}, 4_{2}, 0} \times {2_{1}, 2_{2}, 6}

anders, der ist Laplacesch mit

∣ Ω ∣ = 18

. Oder gleich "in die vollen" gehen via

Ω = {3_{1}, 3_{2}, 3_{3}, 3_{4}, 3_{5}, 3_{6}} \times {5_{1}, 5_{2}, 5_{3}, 1_{1}, 1_{2}, 1_{3}} \times {4_{1}, 4_{2}, 4_{3}, 4_{4}, 0_{1}, 0_{2}} \times {2_{1}, 2_{2}, 2_{3}, 2_{4}, 6_{1}, 6_{2}}

mit dem für vier Würfel üblichen vollen

∣ Ω ∣ = 6^{4} = 1296

, der ist natürlich auch Laplacesch.

> Was ist eine messbare Abbildung?

Hast du die ganze Vorlesung geschwänzt? Bitte besorge dir die Aufzeichnungen, denn "messbare Abbildung" ist nun wirklich ein derart zentraler Begriff, dass man den nicht in einem Forum nachfragen sollte. Ich sag hier nur soviel, dass es bei solchen endlichen W-Räumen wie hier keinerlei Probleme mit der Messbarkeit gibt, sofern man als Sigma-Algebra die Potenzmenge der Grundmenge

Ω

wählt.

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