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Wahrscheinlichkeitsraum: Radon-Nikodym Ableitung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

reflexion

13:35 Uhr, 28.04.2016

Hallo,

ich habe eine Frage bzgl. Sinn und Konzept der Radeon-Nikodym Ableitung.

In meinen Vorlesungsfolien taucht eine Folie auf die eben besagtes ganz kurz anschneidet und auch nicht detailiert darstellt.

Es wird hierbei eine Zufallsvatiable:

Z (ω) = \frac{\tilde{P} (ω)}{P (ω)}

ω \in Ω

Die Bedingungen sind:
1)

P (Z > 0) = 1

P

and

\tilde{P}

are equivalent
2)

E (Z) = 1

3) For any random variable

Y

\tilde{E} (Y) = E (Z Y)

Ich habe mir den Wikipediaartikel dazu durchgelesen, allerdings werde ich daraus nicht schlau! - Die Fragen die sich mir stellen sind folgende:

1) Was genau bringt das ganze und was steckt hinter dem Konzept?
2) Was ist der Sinn hinter 2 Wahrscheinlichkeitsräume

P

und

\tilde{P}

?
3) Was genau drückt die Zufallsvariable, welche nichts anderes ist als eine Division der Wahrscheinlichkeitsräume, aus?
4) Gibt es dazu ein kurzes Beispiel mit reellen Zahlen, da es meist zur Demonstration und zum Erfassen der Sinnhaftigkeit des ganzen dientß

Danke im Voraus!
MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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15:24 Uhr, 28.04.2016

"Was ist der Sinn hinter 2 Wahrscheinlichkeitsräume P und P~ ?"

Das sind keine Wahrscheinlichkeitsräume.

"Was genau drückt die Zufallsvariable, welche nichts anderes ist als eine Division der Wahrscheinlichkeitsräume, aus?"

Man kann grundsätzlich keine Wahrscheinlichkeitsräume dividieren.

Was Radon-Nikodym-Ableitung ist, steht hier geschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Radon-Nikod%C3%BDm

Was Du unter "Beispiel mit reellen Zahlen" meinst, weiß ich nicht.

reflexion

15:34 Uhr, 28.04.2016

Aber was drücken dann die Terme

\tilde{P} (ω)

und

P (ω)

aus? - Die Definition von der Zufallsvariable ist ja der Bruch von eben diesen zwei Komponenten? - Das

P (ω)

steht ja für eine Wahrscheinlichkeit. Genau so steht das

\tilde{P} (ω)

für eine Wahrscheinlichkeit. Die zufallsvariable ist eben der Quotient aus diesen zweien. - Was ist der Unterschied zwischen diesen zwei Wahrscheinlichkeiten? - Auf die Idee mit den Wahrscheinlichkeitsräumen bin ich gekommen, da es als Anwendung beim "risk-neutral pricing" angegeben wird.

Leider werde ich aus diesem Wikipedia-Artikel absolut nicht schlau!

Danke!
Mfg

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15:41 Uhr, 28.04.2016

P

und

\tilde{P}

sind Wahrscheinlichkeitsmaße, nicht Räume.
Ihr Quotient kann man als Zufallsvariable sehen.

"Leider werde ich aus diesem Wikipedia-Artikel absolut nicht schlau!"

Vermutlich fehlt Dir einfach das dazu notwendige mathematische Grundwissen.

"risk-neutral pricing"

Ich habe keine Ahnung, was es ist, aber ich will es auch nicht wissen. :-)

Und Sorry, die Fragen nach dem "Sinn" sind in der Mathematik fehl am Platze, also frag was Anderes.

reflexion

15:57 Uhr, 28.04.2016

Ja, vielleicht fehlt es? - Kannst du mir es erklären oder ist das ein Ding der Unmöglichkeit?

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16:08 Uhr, 28.04.2016

Es gibt dieses Ergenbis: wenn aus

P (A) = 0

immer

\tilde{P} (A) = 0

folgt, dann kann man

\tilde{P}

als ein Integral

\tilde{P} (ω) = \int Z (ω) d P (ω)

darstellen,

Z (ω)

ist die Radon-Nykodim Ableitung. Das ist alles, was es dazu gibt.

Die Schreibweise

Z = \frac{\tilde{P}}{P}

ist falsch, richtig ist die Schreibweise

Z = \frac{d \tilde{P}}{d P}

, aber gemeint ist damit der Satz oben. Man teilt nicht einfach irgendwelche Zahlen, es ist nur eine Notation - also was als ein Bruch aussieht, ist kein richtiger Bruch.

Das ganze kann man leider eher schlecht verstehen, wenn man nicht weiß, was ein Lebesgue-Integral ist.

reflexion

16:16 Uhr, 28.04.2016

Unser Professor hat eben genau diese Definiton so niedergeschrieben, gut wenn es falsch ist *g*

Ok, um es vielleicht mit einfachen Fragen mal aus dir rauszukitzeln, ohne irgendwelche mathematische Definitionen hinzuschreiben:
- Warum gibt es das? - Was ist der Sinn dahinter und wo findet es Anwendung?
- Warum gibt es

P

und

\tilde{P}

?

Es wird doch einen Grund geben, warum man das macht? Irgendwas in der Realität etc.? - Warum ist es im Kapitel Stochastik in der Nähe von Martingale und Bedingter Wahrscheinlichkeit eingeordnet? - Was zeigen die Ausdrücke, was will man darstellen -> WAS ist der Sinn?

Oder sind das einfach nur Sachen wo man ne sinnlose Beziehung herstellt, dass kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen.

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16:27 Uhr, 28.04.2016

"Es wird doch einen Grund geben, warum man das macht?"

Das ermöglicht, irgendwelche Berechnungen durchzuführen und Aussagen zu beweisen.

"Irgendwas in der Realität etc.?"

Eigentlich nicht, wie es für Mathe typisch ist.
Ja, es gibt diese angeblichen Anwendungen in der Wirtschaft, aus meiner Sicht ist das alles nur Humbug.
Und ursprünglich hatte Radon-Nykodim Ableitung gar nichts mit Stochastik zu tun.

"Warum ist es im Kapitel Stochastik in der Nähe von Martingale und Bedingter Wahrscheinlichkeit eingeordnet?"

Weil Martingale auf der Maßtheorie begründet sind, und der Satz von Radon-Nykodim ist ein wichtiges Resultat in der Maßtheorie.

"Was zeigen die Ausdrücke, was will man darstellen "

Welche Ausdrücke?
Die Radon-Nykodim Ableitungen verbindet zwei Maße (z.B. W-keitsmaße) durch ein Integral.

"WAS ist der Sinn?"

Man hat die Möglichkeit, zwei Maße durch eine einfache Formel zu verbinden. Es ist doch schön. :-)

reflexion

16:44 Uhr, 28.04.2016

Das hört sich alles so schön nach "brauch ich nicht" an... Allerdings stellt sich mir die Frage, wenn ich Martingale und Markov-Ketten darstelen will, ob ich das auch wirklich nicht brauche.

Ich hab da nämlich ein schönes Beispiel wo das genau mit Zahlen gerechnet wurde:

-> 3 fair coins
-> 0,5€ - 1€ - 2€
-> given 2 coins are Head

Expectation =

\frac{1 / 8 * 1, 5 + 1 / 8 * 2, 5 + 1 / 8 * 3}{3 / 8} = 2, 33

So ein Beispiel haben wir dazu gerechnet...

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18:12 Uhr, 28.04.2016

In dem Beispiel geht es aber nur um den einfachen Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable. Das ist zwei Abstraktion-Ebenen einfacher als Martingale.

reflexion

20:21 Uhr, 28.04.2016

Der einfache Erwartungswert wäre doch wohl ein anderer.

Der einfache Erwartungswet wäre einfach der Zähler oder nicht? Also alle möglichen Ausgänge der 3 Münzen mit 1/8 Multipliziert. Der bedingte Erwartungswert ergibt sich ja daraus, dass man 2 Münzen mit H schon gegeben hat und dadurch auch durch den Nenner dividiert. oder nicht?

reflexion

20:31 Uhr, 28.04.2016

Um das mal mit einem anderen Beispiel darzustellen:

Wenn wir einen fairen Würfel haben, ist der Erwartungswert ja 3,5. Also die

\sum x_{i} * p_{i}

.

Wenn wir jetzt die Bedingung B hinzufügen, das die Zahl größer oder gleich 4 ist dann wäre es ja:

E (X ∣ B) = \frac{\frac{1}{6} * 4 + \frac{1}{6} * 5 + \frac{1}{6} * 6}{\frac{1}{2}} = 5

Also ist der bedingte Erwartungswert im Prinzip der Erwartungswert von der Gesamtheit auf die Bedingung dividiert durch den Erwartungswert der Bedingung. WIe ich oben halt versucht habe Formal darzustellen, oder liege ich hier falsch?

reflexion

21:45 Uhr, 28.04.2016

Achja und hier das haben wir dazu aufgeschrieben zum Thema Martingale:

Definition haben wir so aufgeschrieben:

E (X_{t + 2} ∣ F_{t + 1}) = X_{t + 1}

E (E (X_{t + 2} ∣ F_{t + 1}) ∣ F_{t}) = E (X_{t + 1} ∣ F_{t})

E (X_{t + 2} ∣ F_{t}) = X_{t}

Beispiel (siehe GRAFIK 1 ANHANG):

M_{n} = X_{1} + . . . + X_{n}

E (M_{n + 1} ∣ F_{n}) = M_{n}

E (M_{n} + X_{n + 1} ∣ F_{n}) = M_{n}

E (M_{n} ∣ F_{n}) + E (X_{n + 1} ∣ F_{n})

-> wobei der erste Term gleich

M_{n}

sein soll (weil man weiß was in dieser Zeit oder state passiert).
-> die Erwartung im zweiten Term sollte 0 sein, weil es unabhängig ist.
Daraus folgt dann

M_{n} = M_{n}

Beispiel (siehe Grafik 2 ANHANG):

\frac{1}{(1 + r)^{n}} * S_{n} . . . .

martingale?

E (\frac{1}{(1 + r)^{n + 1}} * S_{n + 1} ∣ F_{n}) = \frac{1}{(1 + r)^{n}} * S_{n}

E (\frac{S_{n}}{(1 + r)^{n + 1}} * \frac{S_{n + 1}}{S_{n}} ∣ F_{n})

\frac{S_{n}}{(1 + r)^{n}} * E (\frac{1}{(1 + r)} * \frac{S_{n + 1}}{S_{n}} ∣ F_{n})

\frac{S_{n}}{(1 + r)^{n}} * \frac{1}{(1 + r)} * E (\frac{S_{n + 1}}{S_{n}} ∣ F_{n})

\frac{S_{n}}{(1 + r)^{n}} * \frac{1}{(1 + r)} * E (\frac{S_{n + 1}}{S_{n}})

-> hier soll der 3. Term das gleiche sein wie

p_{u} * u + p_{d} * d

-> das folgt aus

\frac{p_{u} * u * S_{0} + p_{d} * d * S_{0}}{S_{0}}

-> wobei eben

S_{0}

gestrichen werden kann!

\frac{S_{n}}{(1 + r)^{n}} * \frac{1}{(1 + r)} * (p_{u} * u + p_{d} * d) - \frac{S_{n}}{(1 + r)^{n}}

-> Dazu haben wir dazu geschrieben, wenn der Term

\frac{1}{(1 + r)} * (p_{u} * u + p_{d} * d)

also 1 ergibt, dann handelt es sich um ein Martingale.

Darum hab ich gefragt. - Ich habe keinen Plan was da gemacht wird und darum will ich ja vor Allem das Thema versuchen zu verstehen, wie soll ich denn sonst verstehen was wir da aufgeschrieben haben. - Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen =)

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08:43 Uhr, 29.04.2016

"Also ist der bedingte Erwartungswert im Prinzip der Erwartungswert von der Gesamtheit auf die Bedingung dividiert durch den Erwartungswert der Bedingung."

Nicht durch Erwartungswert, sondern durch W-keit.
Aber das ist nur wahr für Erwartungswerte unter Bedingung eines Ereignisses.
Für Martingale brauchst Du aber Erwartungswerte unter Bedingung einer

σ

-Algebra, und das ist etwas ganz Anderes, wie ich schon sagte. Erwartungswerte unter Bedingung einer

σ

-Algebra sind keine Zahlen, sondern Zufallsvariablen! Und es gibt keine einfache Rechenvorschrift für sie. Du brauchst den Erwartungswert,
der hier: de.wikipedia.org/wiki/Bedingter_Erwartungswert unter "Formale Definition" steht.

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08:44 Uhr, 29.04.2016

Sorry, Deine Beispiele verstehe ich nicht.

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08:50 Uhr, 29.04.2016

Du kannst es mit diesem Text versuchen, da steht drauf "ein leicht verständliche Einführung"
lms.fu-berlin.de/bbcswebdav/orgs/wiwiss_bfw/Martingaltheorie/Skript_130502.pdf

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09:15 Uhr, 29.04.2016

Oder vielleicht auch hier, weil aus wirtschaftstheoretischen Sicht geschrieben:
http://www.statistik.lmu.de/~kaiser/devnetseminar/Hausarbeiten/Riedel_Seminar_Hausarbeit.pdf

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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