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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Durchschinttswert, Streuung

JanaS94 aktiv_icon

12:05 Uhr, 24.09.2011

Ich bereite mich derzeit auf eine Mathe-Klausur vor und kann es eigentlich auch richtig gut, aber bei eine Frage stehe ich auf dem Schlauch!
Aus einem Beutel mit zwölf 50-Cent-Münzen, fünf 1-Euro-Münzen und acht 2-Euro-Münzen nimmt man zwei Münzen. Welchen Geldbetrag $m$ wird man durchschnittlich herausziehen? Wie stark streuen die Geldbeträge um m?

Die Lösung haben wir bereits bekommen: Erwartungswert: $2,166$
Standardabweichung: 4
Habe auch bereits ein Baumdiagramm angefertigt! Den GTR dürfen wir mit einbeziehen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Gerd30.1 aktiv_icon

13:27 Uhr, 24.09.2011

$P (X = 1) = P (0,5 | 0,5) = {(\frac{12}{25})}^{2}$
$P (X = 1,5) = P (0,5 | 1) + P (1 | 0,5) = 2 \cdot \frac{12 \cdot 5}{25^{2}}$
$P (X = 2) = P (1 | 1) = {(\frac{5}{25})}^{2}$
$P (X = 2,5) = P (0,5 | 2) + P (2 | 0,5) = 2 \cdot \frac{12 \cdot 8}{25^{2}}$
$P (X = 3) = P (2 | 1) + P (1 | 2) = 2 \cdot \frac{8 \cdot 5}{25^{2}}$
$P (X = 4) = P (2 | 2) = {(\frac{8}{25})}^{2}$
$\Rightarrow E (X) = {(\frac{12}{25})}^{2} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{12 \cdot 5}{25^{2}} \cdot 1,5 + {(\frac{5}{25})}^{2} \cdot 2 + 2 \cdot \frac{12 \cdot 8}{25^{2}} \cdot 2,5 + 2 \cdot \frac{8 \cdot 5}{25^{2}} \cdot 3 + {(\frac{8}{25})}^{2} \cdot 4 =$
$= \frac{1}{25^{2}} \cdot (144 + 180 + 50 + 480 + 240 + 256) = 2,16$

$E (X^{2}) = {(\frac{12}{25})}^{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot \frac{12 \cdot 5}{25^{2}} \cdot {1,5}^{2} + {(\frac{5}{25})}^{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot \frac{12 \cdot 8}{25^{2}} \cdot {2,5}^{2} + 2 \cdot \frac{8 \cdot 5}{25^{2}} \cdot 3^{2} + {(\frac{8}{25})}^{2} \cdot 4^{2} =$
$= \frac{1}{25^{2}} \cdot (144 + 270 + 100 + 1200 + 720 + 1024) = 5,5328$

$V A R (X) = E (X^{2}) - E {(X)}^{2} = 0,8672 \Rightarrow σ = 0,9312$

Mamed aktiv_icon

19:13 Uhr, 04.12.2018

Muss man nicht davon ausgehen das die Münzen nicht zurück gelegt werden?

Mamed aktiv_icon

19:13 Uhr, 04.12.2018

Muss man nicht davon ausgehen das die Münzen nicht zurück gelegt werden?

supporter aktiv_icon

19:27 Uhr, 04.12.2018

Das sehe ich auch so.
Bleibt die Frage, ob gleichzeitig oder nacheinander, also ob die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Roman-22

23:31 Uhr, 04.12.2018

$>$ Muss man nicht davon ausgehen das die Münzen nicht zurück gelegt werden?
Naja, müssen $...$ . ?
Grundsätzlich ist das in der gegebenen Angabe nicht ganz klar festgelegt, aber ich denke, dass es Sinn macht, von der Annahme, dass die Münzen nicht zurückgelegt werden, auszugehen, sodass man nach dem Experiment tatsächlich einen Betrag von 1€ bis 4€ vor sich liegen hat.
Gerd hat das vor 7 Jahren offenbar anders gesehen, als er seine Lösung hier schrieb.
Ob mit oder ohne Zurücklegen - die Reihenfolge ist hier mit Sicherheit nicht zu berücksichtigen, da es laut Angabe ganz klar nur um den gezogenen Gesamtbetrag geht.

Der Erwartungswert ist übrigens unabhängig davon, ob man Zurücklegen annimmt oder nicht. Er ist in beiden Fällen genau $\frac{54}{25}$ € $= 2,16$ €.

Was sich ändert, wenn man davon ausgeht, dass die erste Münze nicht wieder zurück gelegt wird, ist die Varianz und damit auch die Standardabweichung.

Die Standardabweichung beträgt aber keinesfalls $4,$ wie von der Fragestellerin behauptet, sondern $\frac{\sqrt{18699}}{150} \approx 0,91153$ . Ist also etwas geringer als bei Gerds Annahme, dass zurückgelegt wird.

Wieso hast du diesen alten Thread eigentlich ausgegraben?

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