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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Schüler

Tags: Wahrscheinlichkeitsaufgaben

82Isa aktiv_icon

19:54 Uhr, 26.07.2013

Guten Abend,

ich bin wiedermal am Üben und folgende Aufgaben konnte ich noch nicht lösen, vielleicht kann mir ja jemand dabei helfen.

2. Bei einem Glücksspiel beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 37,5%.
20 Spiele

Wie oft müsste man spielen, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen, 95% übersteigt.

Mein Ansatz:

P (x = 0) a u s r e c h n e n

1 - 0, 000082718 > = 0, 95

l n 0, 05 / l n 0, 000082718 < = n

0, 31869 < = n

(lt. Lösung: ca 7)

6. Ein Student lernt für seine Prüfung 70 % der Formeln, die er eigentlich können müsste. Der Student kann plötzlich 18 von 20 Fragen beantworten. Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit für seine Behauptung, er habe mehr als 70% gelernt und testen Sie auf dem 0,05 Niveau seine Behauptung!

Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht wie ich anfangen soll, bitte um Hilfestellung.

7. In einer Urne befinden sich 15 schwarze und 10 weiße Kugeln. Man zieht 8 Kugeln mit Zurücklegen. Wie viele Kugeln muss man mit Zurücklegen ziehen, um mit 99%iger Sicherheit eine weiße Kugel zu ziehen.

P (x w e i ß e K u g e l = 0) a u s r e c h n e n

- 0, 016 8^{n} > = 0, 99

n 0, 01 / l n 0, 0168 < = n

1, 1269 < n

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

09:48 Uhr, 27.07.2013

2)

p(Gewinn)

= 37,5 % \Rightarrow

p(Verlust)

= 0,625

p(mindestens 1 gewinn)

= 1 - p (20

Verluste nacheinander)

\Rightarrow 1 - {0,625}^{n} > 0,95

\Rightarrow {0,625}^{n} < 0,05

\Rightarrow n > \frac{ln (0,05)}{ln (0,625)} = 6,37 . .

.
Also

n = 7

6)

Wenn der Student

70 %

gelernt hat, beträgt der Erwartungswert bei

20

Fragen

14

richtige Antworten. Mehr richtige Antworten deuten also auf einen höheren Grad der Vorbereitung hin. Als Hypothese wählt man "er hat

70 %

gelernt". Dass er damit

18

oder mehr richtige Antworten erzielt, dafür ist

1 - F (20; 0,7; 17) = 1 - 0,9645 = 0,0355

die Wahrscheinlichkeit. Mithin besteht eine Wahrscheinlichkeit von

3,55 %

dafür, dass er nur

70 %

gelernt hat, aber mit Glück dennoch

18

oder mehr Treffer erreichte.

7)

wie

2)

Aber dein Text ist unklar. Man zieht 8 Kugeln ...wie viele Kugeln muss man ziehen ?
Ist vielleicht gemeint, zuerst auszurechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit unter den 8 mindestens eine weiße ist ?

82Isa aktiv_icon

21:31 Uhr, 27.07.2013

Danke für die Hilfe

Nummer 2 und Nummer 7 sind mir nun klar.

Nur bei dem Beispiel 6 habe ich noch meine Probleme.

Kannst du mir das bitte nochmals erklären. 1-F(20, 0,7 , 17) für was stehen die Werte?

prodomo aktiv_icon

10:06 Uhr, 28.07.2013

F

steht für die kumulative (summierte) Binomialverteilung, also

B (20; 0,7; 0) + ... ... + B (20; 0,7; 17) = F (20; 0,7; 17)

. Damit errechnet man, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer vorausgesetzten Lernquote von

70 %

nur Ergebnisse von höchstens

17

richtigen Fragen herauskämen.

1 -

dieser Zahl ergibt dann die Wahrscheinlichkeit, bei

70 %

Lernquote mit Glück/Zufall mehr als

17

Treffer zu landen. Damit wäre ja die Behauptung des Studenten widerlegt.

82Isa aktiv_icon

14:12 Uhr, 28.07.2013

OK mir ist jetzt klar was mit kumulierter Wahrscheinlichkeit gemeint ist.
Ich komme auch auf 0,035483.

Jedoch steht in der Lösung 0,0076
Wie rechne ich jetzt die Irrtumswahrscheinlichkeit aus.
Und was meint man mit "Testen Sie auf dem 0,05 Niveau die Behauptung"?

Danke für die bisherige Hilfe.

prodomo aktiv_icon

13:46 Uhr, 29.07.2013

Die

0,0076

sind richtig, wenn man als Hypothese wählt, dass über

70 %

gelöst wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit

70 %

Lernleistung mehr als

18

richtige erreicht, ist nämlich

0,0076,

dass ist

B (20; 0,7; 19) + B (20; 0,7; 20)

. Bei dem Niveau ist gefragt, ab welchem Ergebnis seine Behauptung (mehr als

70 %

gelernt) mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von maximal

5 %

verworfen werden kann. Diese Behauptung wird verworfen, wenn er sehr wenig richtige Antworten erreicht. Es muss daher

\sum_{j = 0}^{k} (\begin{matrix} 20 \\ j \end{matrix}) \cdot {0,7}^{j} \cdot {0,3}^{20 - j} \leq 0,05

werden. Das ist der Fall bei

k \leq 10

mit

0,048

. Dabei rechnet man zwar so, als habe er

70 %

gelernt, während doch "mehr als 0,7" getestet werden soll, aber wenn

10

schon bei

70 %

Lernleistung zu wenig wären, dann bei einer noch höheren behaupteten Leistung erst recht, dann dann müssten ja mehr richtige Antworetn anfallen.

82Isa aktiv_icon

14:22 Uhr, 29.07.2013

Ok so manches leuchtet mir nun ein. (Mir wurde Mathematik leider nicht gerade in die Wiege gelegt). P (x = 19) und P (x = 20) konnte er nicht lösen (Also Irrtumswahrscheinlichkeit.
Das mit dem Niveau ist schon etwas schwieriger.
Was wird in diesem Beispiel konkret für das j eingesetzt? > Damit sich k ergibt

prodomo aktiv_icon

15:44 Uhr, 29.07.2013

Dir scheint die Summenschreibweise nicht vertraut. Das ist

B (20; 0,7; 0) + ... ... . + B (20; 0,7; 10),

wenn

k = 10

ist. Man muss einfach in der Tabelle "summierte Binomialverteilung" bei

n = 20

nachsehen. Bei Zentralabituraufgaben wird meistens eine Tabelle mitgeliefert, in vielen Formelsammlungen gibt es aber nur solche mit

p

höchstens

0,5

. Für

0,7

muss man denn bei

0,3

nachsehen und nicht von 0 bis

k,

sondern von

20

abwärts ablesen. Das müsste aber geübt sein. Für

k = 10

findet man

0,9520

. Da hier das Gegenereignis abgelesen wird, entspricht das

0,048

. Ich habe einen TR Casio

991

benutzt, der kann Summen direkt berechnen.

82Isa aktiv_icon

16:51 Uhr, 29.07.2013

Ich habe nun ein Formelheft besorgt, weil mir das Beispiel einfach keine Ruhe lässt.
Also ich habe hier eine Binomialverteilung mit n = 20 und verschiedenen p
P (H=k) = p (x=k)
und dann noch eine Binomialverteilung mit n = 20 und verschiedenen P
P(H<=k) = P(x<=k)
OK da nehme ich die zweite Tabelle und da finde ich bei 10 - 0,7 tatsächlich diesen Wert.
Nun sind wir schon ein Stück weiter, nur wie komme ich auf diese 10 - damit ich damit in der Tabelle nachsehen kann.

Ich weiß nicht was ich in die Formel konkret einsetzen muss das ich auf diesen Wert 10 komme.

prodomo aktiv_icon

17:39 Uhr, 29.07.2013

Andersherum ! Du weißt die

5 %

und suchst in der Tabelle, bis du

0,05

von oben

(0

und abwärts bei

0,7)

oder

0,95

von unten bei

0,3

erreichst. Diese Zeile ist bei

10!

Hast du keine Tabelle, so musst du probieren, es sei denn, du hast einen TR, der dir

z . B

. eine Tabelle ausgeben kann oder eine solve-Taste dafür hat.

82Isa aktiv_icon

18:23 Uhr, 29.07.2013

OK ich verstehe, ich suche die Werte 5 % oder 95 % in der Tabelle. Da ja nicht jeder Wert genau aufscheint ist es eine Annäherungsgeschichte.
Danke nochmals

1106835

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