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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Schüler Gymnasium,

Tags: Binomialverteilung, Zufallsexperiment

annie123

21:19 Uhr, 02.12.2013

Hallo, ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe!
Diese lautet:
In einer Urne befinden sich

10

schwarze, 8 weiße, und 2 rote Kugeln.

a)

Aus der Urne wird dreimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A :

Es komm die Zugfolge RSW
B:Alle gezogenen Kugeln sind gleichfarbig
C:Mindestens eine Kugel ist weiß
D:Höchstens eine Kugel ist schwarz

b)Wie viele Kugeln müssen der Urne mit Zurücklegen mindestens entnommen werden, damit unter den gezogenen Kugeln mit wenigstens

90 %

Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel ist?

c)Aus der Urne werden

50

Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele weiße Kugeln sind zu erwarten? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden

18 - 22

weiße Kugeln gezogen?

Ich bin mir einfach nicht sicher! Würde mich sehr über Antworten freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

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23:47 Uhr, 02.12.2013

Hallo

Ziehen mit Zurücklegen bedeutet ja, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis (hier

R, W

oder

S)

NICHT ändern. Überleg dir zuerst mal, was denn in diesem Fall die Wahrscheinlichkeiten sind

R, W

oder

S

zu ziehen. Danach hilft es zur Veranschaulichung mit einem sogenannten Baumdiagramm zu arbeiten, falls dir das was sagt.

Probiers mal und sonst meldest du dich einfach wieder :-D)

annie123

11:54 Uhr, 03.12.2013

wäre das dann bei der

a)

A :

\frac{10}{20} \cdot \frac{8}{20} \cdot \frac{2}{20} = 0.02 %

stimmt das so?

wie könnte ich denn beim Rest vorgehen?

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12:37 Uhr, 03.12.2013

Also deine Rechnung sieht gut aus, allerdings musst du beim Resultat aufpassen. Plump ausgedrückt ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt ja "definiert" als der Quotient:

W = \frac{E_{p}}{E_{t}}

Wobei

E_{p}

die Anzahl der positoven Ereignisse ist

(z . B

Kopf beim Münzwurf, oder Schwarz bei den Kugeln) und

E_{t}

ist die totale Anzahl Ereignise. So kommt man dann ja auch darauf, dass

z . B

für schwarz die Wahrscheinlichkeit gegeben ist als

W_{s} = \frac{E_{p}}{E_{t}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \leq 1

Die MAXIMALE Wahscheinlichkeit für ein Ereignis ist also in jedem Fall

1,

denn der Quotient kann nie grösser als 1 sein. Wenn der Quotient aber 1 ist, heisst das, dass gleich viele posotive Ereignise auftreten wie allgemein Ereignise auftreten und somit ist jedes Ereignis positiv. Die Wahrscheinlichkeit ist dann

100 %

. Also entspricht dein Resultat

0.02

nicht den Prozent. Über die "Formel"

1 = 100 %

kannst du dann ganz einfach in % umrechnen. Klar?
Für

B :

überleg dir doch welche möglichen Wege es entlang des Baumdiagramms gibt und berechne für jeden Weg die Wahrscheinlichkeit.
Bei

C :

überleg dir was "mindestens eine weisse Kugel" bedeutet und wie man das anders formulieren könnte.

D :

Da würde ich mir auch überlegen, wie du die Forderung umformulieren könntest.

annie123

13:08 Uhr, 03.12.2013

zur

B)

habe ich alle Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet für die jeweilige Farbe - muss ich diese nun addieren?

zur

C)

hier habe ich die Bernoulli-Formel angewendet

1 - F (20; \frac{8}{20}; 1)

Stimmt das so?

Zur

D) B (20; \frac{10}{20}; 1)

Stimmt der Ansatz so?
Wie muss ich bei den anderen Teilaufgaben vorgehen?

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15:21 Uhr, 03.12.2013

Ja genau, du musst die Wahrscheilnichkeiten addieren.

Bei der Bernoulliformel musst du aufpasen. Sie sagt dir wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, aus einer Reihe von

n = 3

Versuchen ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit

p

GENAU k-mal zu beobachten. In der Aufgabe ist aber nach einer Wahrscheinlichkeit gefragt das Ereignis MINDESTENS k-mal zu beobachten. Aber so wie ich deine Formel auffasse hast du das bereits berücksichtigt.

Bei der

D

ist die Überlegung ähnlich. Hier kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Möglichkeiten: 0 mal schwarz, 1 mal schwarz berechnen....

annie123

16:03 Uhr, 03.12.2013

Also stimmt das alles so soweit?

WIe muss ich noch bei den anderen Teilaufgaben vorgehen?

Matheboss aktiv_icon

16:40 Uhr, 03.12.2013

Bei

c)

würde ich mir überlegen, wie das Gegenereignis heißt.

d)

höchstens 1 schwarze Kugel heißt doch wohl "keine oder eine" Kugel.

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22:19 Uhr, 03.12.2013

Schreib doch deine bisherigen Rechnungen und Überlegungen schön auf. Es ist so schwer zu erkennen ob dus verstanden hast oder nicht. Schlussendlich solltest du ja die Aufgabe lösen können und nicht wir :-P) Eigentlich ist es immer ein wenig das Selbe und ich denke das Prinzip hast du verstanden.
Bei

C

und

D

würde ich dir das Gleiche wie Matheboss raten (falls ich das nicht schon weiter oben irgendwo getan habe :-D))

annie123

15:10 Uhr, 05.12.2013

Ich hab meine eigenen Lösungen zur

C

und

D

von der Teilaufgabe

a)

schon aufgeschrieben :-D)

aber wie gesagt finde ich keinen Lösungsansatz zu den Teilaufgaben

b)

und

c) : (

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15:51 Uhr, 05.12.2013

Wie Matheboss richtig gesagt hat, hilft es sich das Gegenereignis zu überlegen. Dann kannst du die mindestens-Bedingung auf eine genau-Bedingung reduzieren und ganz normal deine Formeln anwenden. Danach musst du natürlich daran Denken, dass du dann die Wahrscheilnichkeit für das Gegenereignis berechnet hast. Das musst du dann natürlich in die Wahrscheinlichkeit für das eigentlich gesuchte Ereignis umrechnen.

prodomo aktiv_icon

16:01 Uhr, 05.12.2013

"mindestens eine rote" ist das Gegenereignis zu "lauter weiße oder schwarze". Dessen Wahrscheinlichkeit ist

\frac{18}{20}

oder

0,9

. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies bei

k

Versuchen nacheinander eintritt, ist

{0,9}^{k}

. Diese Wahrscheinlichkeit wird also immer kleiner, je mehr Versuche es sind, bis sie irgendwann unter die gefragten

10 %

sinkt, weil dann p("mindestens 1 rote")

90 %

oder mehr wird. Also gilt

{0,9}^{k} \leq 0,1

. Logarithmieren:

k \cdot ln 0,9 \leq ln 0,1

. Jetzt beachten, dass

ln 0,9

eine negative Zahl ist, beim Teilen durch sie dreht sich also das

\leq

\geq

um.

k \geq \frac{ln 0,1}{ln 0,9} =

21,85...Also sind es

22

Versuche.

c)

Binomialverteilung mit

n = 50, p = \frac{8}{20} = 0,4

und

k = 18

bis

22

P (18 \leq X \leq 22) = \sum_{k = 18}^{22} (\begin{matrix} 50 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,4}^{k} \cdot {0,6}^{50 - k} = 0,5291

. Der Erwartungswert wäre

0,4 \cdot 50 = 20

annie123

16:21 Uhr, 05.12.2013

Vielen Dank!

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