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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Glücksrad

Schüler

Tags: dreistufiges Zufallsexperiment, Unfaires Glücksrad, zwei Ereignisse

Beate

17:30 Uhr, 17.07.2025

Hallo zusammen!

Gegeben ist ein Glücksrad mit den Farben

40 %

Gelb,

30 %

Blau,

10 %

Hellgrün und

20 %

Dunkelgrün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Drehen genau einmal Blau und mindestens einmal Dunkelgrün erscheint?

Rechnung:

W

für Gelb ist
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

calc007

17:40 Uhr, 17.07.2025

Überleg dir einfach mal alle Fälle,

z . B . :

blau, dunkel, rest
blau, rest, dunkel
blau, dunkel, dunkel

. .

.
...das sind nicht so viele, als dass man die nicht übersichtlich zu Papier bringen könnte,
viel viel einfacher, als ein online-thread zu basteln. :-)

KL700 aktiv_icon

17:45 Uhr, 17.07.2025

g =

gelb

b =

blau

hg = hellgrün

dg = dunkelgrün

x =

andere Farbe

Möglichkeiten:

b

x, b

dg dg

Beachte die Reihenfolge!

PS:
Das Gegenereignis lautet:
Bei den drei Drehungen erscheint...
keinmal Dunkelgrün
(unabhängig davon, wie oft Blau erscheint)

ODER
nicht genau einmal Blau

(d . h

. 0-mal, 2-mal oder 3-mal Blau),
wobei aber mindestens einmal Dunkelgrün erscheint.

Randolph Esser aktiv_icon

21:27 Uhr, 17.07.2025

Hallo Beate,

zunächst gilt

(\begin{matrix} F a r b e & p \\ g & \frac{2}{5} \\ b & \frac{3}{10} \\ h & \frac{1}{10} \\ d & \frac{1}{5} \end{matrix})

gemäß Aufgabenstellung mit naheliegenden Bezeichnern für die Farben.

Nun ist die Wahrscheinlichtkeit für einmal

b

(blau),

einmal

d

(dunkelgrün) und einmal nicht

b

(irgendwas außer blau,

weil blau nur genau einmal vorkommen darf) zu berechnen.

Das ist dann

p (b) \cdot p (d) \cdot (1 - p (b)) \cdot 3! = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot (1 - \frac{3}{10}) \cdot 6 = \frac{3 \cdot 1 \cdot 7}{10 \cdot 5 \cdot 10} \cdot 6 = \frac{126}{500} = \frac{63}{250}

.

Der Faktor

3!

(sog. Fakultät von

3,

also

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6)

ist dabei die Anzahl der Reihenfolgen,

durch die das gesuchte Ergebnis erzielt werden kann

(die 6 Permutationen einer Menge von 3 Elementen):

b, d, \neg b

b, \neg b, d

\neg b, b, d

d, b, \neg b

d, \neg b, b

\neg b, d, b

(\neg

heißt "nicht" )

Roman-22

22:02 Uhr, 17.07.2025

\neg b

kann auch

d

sein und im Fall von

b - d - d

ist die Anzahl der Permutationen nicht

3!,

sondern nur 3.
Die WKT is daher mit

\frac{6}{25}

etwas geringer.

Randolph Esser aktiv_icon

22:42 Uhr, 17.07.2025

Oh, Danke, Roman22.

Elchtest mal wieder nicht bestanden...

Meine Rechnung ergibt nun allerdings

p (b) \cdot p (d) \cdot (1 - p (b) - p (d)) \cdot 3! + p (b) \cdot p {(d)}^{2} \cdot 3

= \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot (1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{5}) \cdot 6 + \frac{3}{10} \cdot {(\frac{1}{5})}^{2} \cdot 3

= \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 + \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{25} \cdot 3 = \frac{9}{50} + \frac{9}{250} = \frac{54}{250}

(und nicht

\frac{6}{25})

?!?

Roman-22

01:59 Uhr, 18.07.2025

Ja,

\frac{54}{250} = \frac{27}{125} = 21,6 %

ist richtig.
Ich hatte irrtümlich mit

P (b) = P (h \lor g) = 0,4

anstelle von

p (b) = 0,3

und

p (h \lor g) = 0,5

gerechnet.

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