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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Glücksrad

Schüler

Tags: dreistufiges Zufallsexperiment, Unfaires Glücksrad, zwei Ereignisse

Beate

17:30 Uhr, 17.07.2025

Hallo zusammen!

Gegeben ist ein Glücksrad mit den Farben

40 %

Gelb,

30 %

Blau,

10 %

Hellgrün und

20 %

Dunkelgrün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Drehen genau einmal Blau und mindestens einmal Dunkelgrün erscheint?

Rechnung:

W

für Gelb ist
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

calc007

17:40 Uhr, 17.07.2025

Überleg dir einfach mal alle Fälle,

z . B . :

blau, dunkel, rest
blau, rest, dunkel
blau, dunkel, dunkel

. .

.
...das sind nicht so viele, als dass man die nicht übersichtlich zu Papier bringen könnte,
viel viel einfacher, als ein online-thread zu basteln. :-)

KL700 aktiv_icon

17:45 Uhr, 17.07.2025

g =

gelb

b =

blau

hg = hellgrün

dg = dunkelgrün

x =

andere Farbe

Möglichkeiten:

b

x, b

dg dg

Beachte die Reihenfolge!

PS:
Das Gegenereignis lautet:
Bei den drei Drehungen erscheint...
keinmal Dunkelgrün
(unabhängig davon, wie oft Blau erscheint)

ODER
nicht genau einmal Blau

(d . h

. 0-mal, 2-mal oder 3-mal Blau),
wobei aber mindestens einmal Dunkelgrün erscheint.

Randolph Esser aktiv_icon

21:27 Uhr, 17.07.2025

Hallo Beate,

zunächst gilt

(\begin{matrix} F a r b e & p \\ g & \frac{2}{5} \\ b & \frac{3}{10} \\ h & \frac{1}{10} \\ d & \frac{1}{5} \end{matrix})

gemäß Aufgabenstellung mit naheliegenden Bezeichnern für die Farben.

Nun ist die Wahrscheinlichtkeit für einmal

b

(blau),

einmal

d

(dunkelgrün) und einmal nicht

b

(irgendwas außer blau,

weil blau nur genau einmal vorkommen darf) zu berechnen.

Das ist dann

p (b) \cdot p (d) \cdot (1 - p (b)) \cdot 3! = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot (1 - \frac{3}{10}) \cdot 6 = \frac{3 \cdot 1 \cdot 7}{10 \cdot 5 \cdot 10} \cdot 6 = \frac{126}{500} = \frac{63}{250}

.

Der Faktor

3!

(sog. Fakultät von

3,

also

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6)

ist dabei die Anzahl der Reihenfolgen,

durch die das gesuchte Ergebnis erzielt werden kann

(die 6 Permutationen einer Menge von 3 Elementen):

b, d, \neg b

b, \neg b, d

\neg b, b, d

d, b, \neg b

d, \neg b, b

\neg b, d, b

(\neg

heißt "nicht" )

Roman-22

22:02 Uhr, 17.07.2025

\neg b

kann auch

d

sein und im Fall von

b - d - d

ist die Anzahl der Permutationen nicht

3!,

sondern nur 3.
Die WKT is daher mit

\frac{6}{25}

etwas geringer.

Randolph Esser aktiv_icon

22:42 Uhr, 17.07.2025

Oh, Danke, Roman22.

Elchtest mal wieder nicht bestanden...

Meine Rechnung ergibt nun allerdings

p (b) \cdot p (d) \cdot (1 - p (b) - p (d)) \cdot 3! + p (b) \cdot p {(d)}^{2} \cdot 3

= \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot (1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{5}) \cdot 6 + \frac{3}{10} \cdot {(\frac{1}{5})}^{2} \cdot 3

= \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 + \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{25} \cdot 3 = \frac{9}{50} + \frac{9}{250} = \frac{54}{250}

(und nicht

\frac{6}{25})

?!?

Roman-22

01:59 Uhr, 18.07.2025

Ja,

\frac{54}{250} = \frac{27}{125} = 21,6 %

ist richtig.
Ich hatte irrtümlich mit

P (b) = P (h \lor g) = 0,4

anstelle von

p (b) = 0,3

und

p (h \lor g) = 0,5

gerechnet.

Randolph Esser aktiv_icon

07:18 Uhr, 18.07.2025

Gut, dann haben wir ein Ergebnis für Beate.

Man kann es auch mithilfe eines Baumdiagrammes

(mit den günstigen Fällen) berechnen.

Das könnte dann so ähnlich wie auf

dem Schmierzettel im Anhang aussehen.

Wenn man dann nachzählt,

entdeckt man dort wieder die Produkte

p (b) \cdot p (d) \cdot p (g)

und

p (b) \cdot p (d) \cdot p (h)

jeweils sechs Mal

sowie drei Mal

p (b) \cdot p {(d)}^{2}

.

Deren Summe und die Lösung der Aufgabe ist

\frac{216}{1000} = \frac{54}{250} = \frac{27}{125} = {(\frac{3}{5})}^{3}

(lustige Zahl).

Der Fehler in meinem ersten Beitrag war also,

das Produkt

p (b) \cdot p {(d)}^{2}

sechs Mal statt drei Mal

zu veranschlagen, siehe Romans Korrektur.

Nicht richtig nachgedacht, sorry und nochmal

Danke für die Berichtigung...

Beate

11:43 Uhr, 18.07.2025

Vielen vielen Dank für eure Antworten, haben mir sehr geholfen.

Mit meinem Ergebnis

(p = 0,215)

lag ich dann ja knapp daneben. Aber wahrscheinlich nur Zufall, weil der Rechenweg verkehrt war? War mein Ansatz denn ganz und gar daneben?

calc007

12:14 Uhr, 18.07.2025

...Ansatz ??????????????????????????????????????

Meine Augen müssten schon sehr vertrübt sein, oder von dir ist nicht der Hauch eines Ansatzes zu erblicken.

Randolph Esser aktiv_icon

13:52 Uhr, 18.07.2025

Beate, zwei Fragen hätte ich an Dich:

Wieviele Blätter (also Astenden) hat der
vollständige Baum zu dem Glücksradspiel

(3 \times

drehen) ?

Wieviele Blätter davon sind günstige Ergebnisse
im Sinne der Aufgabenstellung ?

Roman-22

19:00 Uhr, 18.07.2025

>

Aber wahrscheinlich nur Zufall, weil der Rechenweg verkehrt war? War mein Ansatz denn ganz und gar daneben?

?? Rechenweg, Ansatz ??
Kann es sein, dass du deine Posts gar nicht mehr kontrollierst, nachdem du sie abgesandt hast.
Dein "Rechenweg" erschöpfte sich in den Worten "W für Gelb ist" und das wars dann auch schon!

: - (

Beate

19:24 Uhr, 18.07.2025

Das habe ich schon gemerkt. Ich hatte die Aufgabenstellung mit allem drum und dran abgesetzt und erschienen ist nur der Anfang davon. Ich hatte dann alles gelöscht und noch mal neu eingestellt. Hat ja auch geklappt, denn meine Fragen wurden beantwortet. Wie das jetzt noch mal auftaucht, weiß ich auch nicht...tut mir leid...

Roman-22

19:28 Uhr, 18.07.2025

Ich weiß nicht, WAS deine Meinung nach nun nochmal auftaucht.
Der Punkt ist, dass du erst vor Kurzem gefragt hast "War mein Ansatz denn ganz und gar daneben?" und du aber nie auch nur einen Hauch eines eigenen Rechenansatzes hier eingestellt hattest. Wie soll man die da diese Frage beantworten können?

Beate

19:37 Uhr, 18.07.2025

Ok, da hat irgendwas nicht geklappt. Ich weiß auch nicht, woran es liegt. Ich versuche es einfach noch mal...Die Vorschau war jedenfalls in Ordnung...

Beate

19:54 Uhr, 18.07.2025

Es klappt nicht mit der Eingabe. Ich weiß nicht, was ich falsch mache...

Rechnung

W

für Gelb ist

Beate

20:32 Uhr, 18.07.2025

Vielen Dank, Randolph Esser,
ich hatte mir tatsächlich für jede Farbe ein Teil-Baumdiagramm erstellt, habe alle günstigen Ergebnisse aufgeschrieben und bin damit auch auf die Lösung gekommen

(p = 0,216)

. Aber es ist alles viel zu kompliziert, wie ich es mache...Ich werde mir deine Fragen überlegen...Danke!

Randolph Esser aktiv_icon

20:38 Uhr, 18.07.2025

Wahrscheinlich das berüchtigte Formel-Bermuda-Dreieck

von onlinemathe. Schon viele Beweise sind dort einfach

auf unerklärliche Weise verschwunden...

de.wikipedia.org/wiki/Flight_19

Randolph Esser aktiv_icon

21:23 Uhr, 18.07.2025

Scherz beiseite,

4^{3} = 64

Ästlis hätte der vollständige Baum

und

2 \cdot 6 + 3 = 15

von denen gehören zur Lösung.

Ein unerfahrener, aber fleißiger Schüler könnte

also den ganzen Baum zeichnen, die günstigen Fälle

filtern, deren Wahrscheinlichkeiten berechnen und

dann addieren und so die Lösung finden.

Der nächste Evolutionsschritt wäre dann,

direkt den Baum mit den günstigen Ergebnissen

zu zeichnen wie oben gezeigt.

Wieder etwas weiter auf der Evolutionsskala

stehen dann kombinatorische Überlegungen

zu Permutationen & Co., durch die das Ganze auf

eine Summe von drei Produkten schrumpft.

Je mehr Du also drauf hast, umso komplexer werden

dann Deine Überlegungen und kürzer die Rechnungen.

Allerdings können sich dann auch logische Fehler

einschleichen, wenn man eben doch nicht ganz

zu Ende überlegt, siehe meinen ersten Beitrag oben.

Und ich nehme es Dir überhaupt nicht übel,

wenn Du Dir das nicht einfach aus dem Ärmel schlackerst.

In der achten Klasse konnte ich nichtmal

quadratische Gleichungen lösen.

Ein Tipp noch: Sichte Theorie, also

Sätze, Formeln und Fachtermini usw..

Arbeite Dich nicht einfach immer nur

an Aufgaben ab. Mathe lernen funktioniert

so nicht.

Roman-22

11:17 Uhr, 19.07.2025

>

Es klappt nicht mit der Eingabe. Ich weiß nicht, was ich falsch mache...
Kann ich dir leider auch nicht sagen.
Meine Vermutung ist, dass du die Angabe nicht selbst eintippst, sonder versuchst, sie einfach per Copy&Paste von irgendwo zu übernehmen. Das geht meist schief, sobald die Angabe mathematische Ausdrücke (oft genügen da auch einfach Zahlen) oder spezielle Zeichen enthält.
Selbst eintippen sollte aber immer funktionieren und du hast hier auch zwei verschiedene Möglichkeiten angeboten, mathematische Ausdrücke einzugeben.
Entweder im normalen Textmodus

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
oder du wechselst in den sogen. 'Experten-Modus' und kannst Teile des LaTeX Formelsatzes nutzen

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_latex_zeichen.pdf

Beate

18:00 Uhr, 19.07.2025

Ja, das könnte sein. Aber nicht copy and paste von irgendwoher, sondern von meinem eigenen Blatt, aber das ist ja wohl egal...Das Problem ist, dass ich das erste Mal in einem Forum unterwegs bin. Sorry, dass ich damit eure Zeit verplämpere...Und danke für den Tipp....

Beate

18:20 Uhr, 19.07.2025

Vielen Dank für deine ganze Mühe!

Ich habe mir inzwischen deine Skizze angeschaut, dabei sind ein paar Lichtlein aufgegangen.

Ich hatte mal wieder den Verdacht, dass die Lösung in meinem Übungsbuch falsch ist (was sich bestätigt hat) und leider beiße ich mich dann an solchen Aufgaben fest. Ich danke dir für den Tipp, mal anders vorzugehen...Und quadratische Gleichungen, ja, die kann ich schon...das macht mir ja Hoffnung...!
Deinen letzten Post werde ich mir jetzt mal genauer anschauen.
Vielen Dank dafür.

Randolph Esser aktiv_icon

18:39 Uhr, 19.07.2025

Du verplemperst meine Zeit nicht.
Wenn ich keine Zeit hätte,
wäre ich hier garnicht aktiv.
Und bedanke Dich auch bei
den anderen Mathehelfern,
die alle sehr enthusiastisch sind...

Beate

10:59 Uhr, 23.07.2025

Sorry, wenn ich das noch nicht getan habe, aber ich bedanke mich ganz ausdrücklich bei allen, die mir geholfen haben. Lieben Dank und allen eine schöne Zeit!

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