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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schach

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Wahrscheinlichkeit

720martin aktiv_icon

17:17 Uhr, 02.08.2009

Hallo, ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin wie sie zu lösen ist, aber irgendwer von euch kann mir bestimmt auf die Sprünge helfen:

Mr. A und Mr.

B

spielen seit vielen Jahren Schach gegeneinander und haben für das Ergebnis eines jeden Spiels folgende Wahrscheinlichkeiten herausgefunden:

P (A

gewinnt)

= 0.3

P (B

gewinnt)

= 0.2

P(unentschieden)=

0.5

Sie entscheiden sich,

10

Partien zu spielen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass A zwei Spiele gewinnt und

B

drei?

Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, wie ich die Wahrscheinlichkeiten

P (A = 2)

und

P (B = 3)

kombinieren muss um auf das richtige Ergebnis zu kommen.
Ich könnte mir vorstellen, dass

P (A = 2)

mal

P (B = 3)

richtig ist, aber auch

P (A = 2)

minus

P (B = 3)

.

???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Beathoven aktiv_icon

17:58 Uhr, 02.08.2009

Hallo,

ich denke du musst kombinieren. Wenn A zwei mal

B 3

mal gewinnen soll muss es bei

10

Spielen 5 unentscheiden geben. Demnach berechnet sich die Wahrscheinlichkeit so:

P = {0,3}^{2} \cdot {0,2}^{3} \cdot {0,5}^{5}

Lg Beathoven

720martin aktiv_icon

18:06 Uhr, 02.08.2009

Sicher? Das sieht mir etwas zu einfach aus. Müsste man nicht noch Binomialverteilung und

n

über

k

und sowas ins spiel bringen?
Und außerdem kommt bei deinem Ansatz eine sehr, sehr, unrealistisch kleine Lösungs raus...

Beathoven aktiv_icon

18:14 Uhr, 02.08.2009

Ja natürlich

. .

. da hast du vollkommen Recht.

Aber mir fällt doch kein richtiger Binomialkoeffizient ein, womit man das berechnen kann... Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee??

Nochmal eine Idee:
Wenn man mit Laplace arbeitet dann wäre der Nenner

3^{10}

als mögliche Ereignisse und der Zähler das bereits beschriebene

P

mal 10über2

\cdot 10

über

3 \cdot

10über5

Meine bescheidenen Meinung

magix aktiv_icon

18:18 Uhr, 02.08.2009

Ich weiß die Lösung leider auch nicht genau, aber ich möchte zu bedenken geben, dass, wenn die beiden Spiele, die A gewinnt, aus den

10

per

(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})

ausgewählt werden, für die Spiele, die

B

gewinnt, nur noch

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

Möglichkeiten verbleiben. Oder irre ich mich da?

DK2ZA aktiv_icon

08:27 Uhr, 03.08.2009

A soll 2 Spiele gewinnen,

B

soll 3 Spiele gewinnen und 5 Spiele sollen untentschieden ausgehen.

Das kann

z . B

. so aussehen: AABBBUUUUU

Die Wahrscheinlichkeit für dieses spezielle Ergebnis ist

{0,3}^{2} \cdot {0,2}^{3} \cdot {0,5}^{5} = \frac{9}{400000} = 0,0000225

Nun sind aber auch andere Anordnungen von zwei As, drei Bs und fünf Us möglich und alle besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist der gesuchte Wert.

Wie viele Möglichkeiten der Anordnung gibt es?

Für das erste A gibt es

10

Plätze, für das zweite A sind es 9. Also

\frac{10 \cdot 9}{2},

denn die As sind ja nicht unterscheidbar.

Für das erste

B

gibt es noch 8 Plätze, für das zweite

B

sind es 7 und für das dritte bleiben 6. Also

\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6},

denn die Bs sind ja nicht unterscheidbar.

Die Us füllen dann einfach die verbleibenden Lücken. Hier entstehen keine neuen Anordungen mehr.

Insgesamt können zwei As, drei Bs und fünf Us also auf

\frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 45 \cdot 56 = 2520

verschiedene Arten angeordnet werden.

Man hätte auch einfach eine fertige Formel verwenden können:

\frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 5!} = 2520

Nun bleibt nur noch zu rechnen

\frac{9}{400000} \cdot 2520 = \frac{567}{10000} = 0,0567

Dies ist die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit.

GRUSS, DK2ZA

720martin aktiv_icon

09:54 Uhr, 03.08.2009

Aha, das sieht ja schon mal ganz sinnig aus! Sehr gut, danke!

Warum genau teilt man denn jetzt bei den Möglichkeiten für A durch 2 und bei denen für

B

durch 6??

magix aktiv_icon

10:12 Uhr, 03.08.2009

Auch wenn mein Beitrag kurz war, oder gerade deswegen, hättest du ihn schon zur Kenntnis nehmen können. Da steht es nämlich drin.
Wenn du

(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})

rechnest, erhältst du ausführlich geschrieben:

\frac{10!}{(2!) \cdot (8!)} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}

Und bei

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

\frac{8!}{(3!) \cdot (5!)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}

720martin aktiv_icon

10:18 Uhr, 03.08.2009

Ahso! Du hast recht, ich hätte vorm posten eine Sekunde länger nachdenken sollen...

Danke für eure Hilfe!

DK2ZA aktiv_icon

11:25 Uhr, 03.08.2009

Weshalb man bei den Möglichkeiten für die As durch 2 teilt:

Wenn du zwei unterscheidbare Gegenstände

A_{1}

und

A_{2}

auf

10

Plätze verteilst, dann gibt es für

A_{1}

natürlich

10

Möglichkeiten und für

A_{2}

nur noch

9,

also insgesamt

10 \cdot 9 = 90

Möglichkeiten.

Wenn aber zwischen

A_{1}

und

A_{2}

kein Unterschied besteht, wenn man für beide also nur einfach A schreibt, dann sind die Anordnungen

A_{1} A_{2}

und

A_{2} A_{1}

ja gleich und deshalb muss man dann durch 2 teilen.

Bei den drei Bs ist es so:

BBB kann bedeuten

B_{1} B_{2} B_{3}

oder

B_{1} B_{3} B_{2}

oder

B_{2} B_{1} B_{3}

oder

B_{2} B_{3} B_{1}

oder

B_{3} B_{1} B_{2}

oder

B_{3} B_{2} B_{1}

. Also muss man durch 6 teilen.

GRUSS, DK2ZA

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