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Wahrscheinlichkeitsrechnung einer Urne

Schüler

Tags: Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsrechnung

lisaa2222 aktiv_icon

17:02 Uhr, 25.07.2015

In einer Urne befinden sich 4 weiße

(W)

und 6 schwarze

(S)

Kugeln. Eine Kugel wird zufällig entnommen und dafür eine der anderen Farbe wieder hineingelegt. Dann wird der Urne eine weitere Kugel entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

a)

die zuletzt gezogene Kugel weiß ist,

b)

man bei beiden Ziehungen jeweils Kugeln gleicher Farbe erhält,

c)

beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass die gezogene Kugel die gleiche Farbe hat.

Ich schaffe es nicht ein Baumdiagramm zu zeichnen, weil ich

z . B

. nicht weiß wie ich "eine Kugel wird entnommen und eine andere Farbe wieder hineingelegt" zeichne. Ich würde vorschlagen:

a)

Erster Pfad (erste Ziehung) ist ja egal, daher

P (1) = 1

. Nun wird eine zufällige Kugel entnommen und eine andere Farbe hineingelegt. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder eine weiße Kugel wird entnommen und dafür eine schwarze hinzugefügt oder anders herum. Pfad 2 hat also eine Wahrscheinlichkeit von

P (2) = \frac{1}{2}

. Wenn nun eine weiße Kugel entnommen wurde und dafür eine schwarze hinzugefügt wurde gibt es fünf schwarze und fünf weiße Kugeln. Damit ist

P (3, S \to W) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

. Die zweite Möglichkeit war, dass eine weiße Kugel durch eine schwarze ersetzt wird, das heißt es gibt 7 schwarze und 3 weiße Kugeln, somit beträgt die Wahrscheinlichkeit eine weiße zu ziehen

P (3, W \to S) = \frac{3}{10}

.

Insgesamt dann:

P (W) = P (1) \cdot P (2) \cdot P (3, S \to W) \cdot P (3, W \to S) = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{40}

b)

die Wahrscheinlichkeit bei beiden Ziehungen eine schwarze Kugel zu ziehen beträgt:

P (S) = P (1) \cdot P (2) \cdot P (3, S \to W) \cdot P (3, W \to S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{16}

Für die weiße Kugel:

P (W) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{80}

Was mache ich jetzt mit den Einzelwahrscheinlichkeiten der jeweiligen Farbe um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, eine Kugel gleicher Farbe zu ziehen? Multiplizieren? Addieren?

c)

Weiß ich leider nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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17:21 Uhr, 25.07.2015

Wenn zuerst eine weiße gezogen wird, sind anschließend 3 weiße und 7 schwarze in der Urne.
Wenn zuerst eine schwarze gezogen wird, sind anschl. 5 weiße und 5 schwarze in der Urne.

Das sollte dir weiterhelfen. Du musst die Wahrscheinlichkeiten der relevanten Pfade addieren:

a)

P(ww)+P(sw)

lisaa2222 aktiv_icon

17:39 Uhr, 25.07.2015

Verstehe ich nicht, was mache ich denn mit den beiden Möglichkeiten (schwarz durch weiß vertauschen oder anders herum). Muss ich die Wahrscheinlichkeiten auch addieren? Ist

b)

komplett falsch?

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17:51 Uhr, 25.07.2015

a)

Es kommt nur darauf an, dass die zweite Kugel weiß ist. Die 1. kann also weiß oder schwarz sein, Das muss man berücksichtigen.

P(sw)

= \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{10}

P(ww)=

\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{10}

Beide addiert ergibt

\frac{42}{100},

also

42 %

. Verstanden ?

lisaa2222 aktiv_icon

18:01 Uhr, 25.07.2015

Asou ja! Wäre dann:

b)

die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine weiße Kugel zu ziehen beträgt:

P (W, W) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{4}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{12}{10} + \frac{20}{10} = \frac{32}{10}

Die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen:

P (S, S) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{10} + \frac{6}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{30}{10} + \frac{42}{10} = \frac{72}{10}

Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel gleicher Farbe zu ziehen? Muss ich die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren?

c)

Hier verstehe ich die Aufgabe gar nicht. "Wenn bekannt ist, dass die gezogene Kugel die gleiche Farbe hat". Was denn für eine gleiche Farbe? Meint die Aufgabe, dass die gezogene Kugel weiß sein soll? Dann wäre es doch:

P = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

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18:13 Uhr, 25.07.2015

b)

Ergebnis stimmt nicht !Es gibt jeweils nur 1 Pfad.

c)

Das verstehe ich auch nicht. Sehr seltsam diese Formulierung. Vllt. weiß ein Kollege Rat.

PS:

\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{^} 10

ist nicht

\frac{7}{10}

lisaa2222 aktiv_icon

18:46 Uhr, 25.07.2015

Wieso denn nur ein Pfad? Es gibt doch zwei Pfade! Einmal schwarze Kugel ziehen und dann schwarze Kugel aus Möglichkeit 1 (schwarz durch weiß ersetzen) ziehen oder aus Möglichkeit 2 (weiß durch schwarz ersetzen). Analog für weiße Kugel.

Könntest du das bitte vorrechnen? Ich komme nicht dahinter was du mit einem Pfad meinst.

lisaa2222 aktiv_icon

18:46 Uhr, 25.07.2015

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18:56 Uhr, 25.07.2015

b)

1.Pfad= ww , 2.Pfad =ss

P(WW)=4/10*3/10
P(SS)=6/10*5/10

Diese beiden

P

musst du addieren.

lisaa2222 aktiv_icon

19:11 Uhr, 25.07.2015

Aso.

b) P = P (W, W) + P (S, S) = \frac{12}{10} + \frac{30}{10} = \frac{42}{10}

Wäre nett wenn mir noch jemand bei

c)

helfen könnte. :-)

Roman-22

20:26 Uhr, 25.07.2015

Ist die Formulierung bei

c)

wirklich buchstabengetreu so, wie du sie hier wiedergegeben hast?

Ich denke es sollte

" $c)$ beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass die zweite gezogene Kugel die gleiche Farbe wie die erste hat. "

oder

" $c)$ beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass beide gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben. "

lauten.

Dann wäre die Lösung

\frac{2}{7} \approx 28,57 %

R

lisaa2222 aktiv_icon

20:44 Uhr, 25.07.2015

Ups. Hatte einen kleinen Fehler drin:

"c) beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben."

Dankeschön!

lisaa2222 aktiv_icon

20:45 Uhr, 25.07.2015

Ups. Hatte einen kleinen Fehler drin:

"c) beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben."

Dankeschön!

lisaa2222 aktiv_icon

20:45 Uhr, 25.07.2015

Ups. Hatte einen kleinen Fehler drin:

"c) beide Kugeln weiß sind, wenn bekannt ist, dass die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben."

Dankeschön!

fini0205 aktiv_icon

12:32 Uhr, 16.01.2018

Hallöchen, ich hänge an der gleichen Aufgabe bzw. nur am Teil c). Verstehe die Formulierung nicht und wie du auf 2/7 gekommen bist!?

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