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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Binomialverteilung

bobsn

15:41 Uhr, 06.09.2010

Hallo an alle!!!

Kann mir jemand bitte bei diesem Beispiel helfen??

Bei einem Test sind

20

Fragen zu beantworten, wobei jeweils 4 Antworten zur Auswahl stehen. Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens

10

Fragen richtig beantwortet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test durch blosses Raten zu bestehen?
(Für dieses Besipiel sollte man eine Tabelle verwenden.)

Wie geht das??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

Danuta17 aktiv_icon

16:18 Uhr, 06.09.2010

wenn 4 Antwortmöglichkeiten zur Auswahl stehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine richtige Antwort wählst

\frac{1}{4}

. somit wäre das dein

p

.
Da man ja

10

Fragen richtig beantworten muss, damit man den Test besteht rechnet man folgendes:

P (X \geq 10) = (20

über

10) \cdot {(\frac{1}{4})}^{10} \cdot {(\frac{3}{4})}^{10}

bobsn

16:38 Uhr, 06.09.2010

Danke für deine Hilfe!!

bobsn

17:00 Uhr, 06.09.2010

Ich hab nachgerechnet und das Ergebnis ist leider falsch.

bobsn

17:04 Uhr, 06.09.2010

Wie kann man eine Tabelle zu diesem Beispiel verwenden??

heimdall aktiv_icon

17:09 Uhr, 06.09.2010

(\begin{matrix} 20 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{10} \cdot {(\frac{3}{4})}^{10}

ist die Wahrscheinlichkeit für genau

10

richtige Antworten. Du musst also

(\begin{matrix} 20 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{10} \cdot {(\frac{3}{4})}^{10} + (\begin{matrix} 20 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{11} \cdot {(\frac{3}{4})}^{9} + (\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{12} \cdot {(\frac{3}{4})}^{8} + . .

+ (\begin{matrix} 20 \\ 20 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{20} \cdot {(\frac{3}{4})}^{0}

berechnen, da das etwas viel wäre sollst du wahrscheinlich Tabellen benutzen.

bobsn

17:11 Uhr, 06.09.2010

Wie benutzt man Tabellen???

bobsn

17:17 Uhr, 06.09.2010

Wieso ist eigentlich p=1/4???

heimdall aktiv_icon

17:37 Uhr, 06.09.2010

Mit der Binomialverteilung berechnest du die Wahrscheinlichkeit für genau

k

Treffer aus

n

Versuchen. Die Formel lautet:

P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Dabei ist

n

die Anzahl der Versuche,

k

die gewünschte Anzahl an Treffern und

p

die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (und

1 - p

demnach die Wahrscheinlichkeit für einen Nichttreffer).

P (X = k)

heißt also Wahrscheinlichkeit für genau

k

Treffer.

Du hast in der Aufgabe

20

Versuche, also

n = 20,

und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, also eine richtige Antwort, ist

\frac{1}{4}

(da es 4 verschiedene Antwortmöglichkeiten gibt und davon eine richtig ist), also ist

p = \frac{1}{4}

. Nun willst du wissen wie wahrscheinlich es ist den Test zu bestehen, also MINDESTENS

10

Mal richtig zu raten. Das heißt du musst in der Formel für

k = 10, 11, 12, .

, 20

einsetzen und die Ergebnisse addieren. Du berchnest also

P (X \geq 10)

. Da das viel zu rechnen ist gibt es Tabellen in denen für einige

n, p

und

k

die Werte aufgeführt sind,

z . B

. www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/stochastik/binomial_tabelle.PDF , guck mal in deinem Mathebuch auf die letzte Seite, da sind oft ebenfalls solche Tabellen zu finden.

Hier gibt es nun das Problem dass zumindest in meiner Tabelle nur

P (X \leq k)

aufgelistet ist, also die Wahrscheinlichkeit dass es weniger oder genau

k

Treffer gibt, aber wir suchen ja die Wahrscheinlichkeit für

10

oder mehr. Nun kannst du dir überlegen was das Gegenteil von

10

oder mehr Treffern ist, nämlich 9 oder weniger. Also kannst du

1 - P (X \leq 9)

berechnen und hast dein gewünschtes Ergebnis. Du suchst also nun die Wahrscheinlichkeit von

P (X \leq k)

für

k = 9, p = \frac{1}{4}

und

n = 20

. Dieser Wert steht in meiner Tabelle auf Seite 4 ganz unten.

bobsn

17:50 Uhr, 06.09.2010

Danke für deine sehr ausführliche Hilfe!!! Jetzt hab ichs endlich verstanden!

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