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Wahrscheinlichkeitsrechnungen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Wahrscheinlichkeit

martinnn aktiv_icon

18:01 Uhr, 13.11.2009

Wir haben in der Schule eine Reihe von Wahrscheinlichkeitsrechnungen bekommen, so an die

20

Stück und ich komme bei diesen einfach nicht auf die Lösung. Wäre klasse wenn mir jemand helfen könnte!

1.
Gegeben sind die beiden Ereignisse A und

B

mit den folgenden Angaben:

P ((A

∪

B) c) = 0,

P(Ac|B) = ⅓

, P (A) = \frac{6}{7},

wobei Ac das Gegenereignis von A ist.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit

P (B)

.

2.
Ein Viertel der Bewohner in Innsbruck lässt nachts die Garagentore offen. Der Sicherheitsdirektor von Tirol fand heraus, dass aus

5 %

der offen gelassenen Garagen etwas gestohlen wird. Hingegen wird nur mit einer Wahrscheinlichkeit von

1 %

aus den geschlossenen Garagen etwas gestohlen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Innsbrucker Garage nicht offen gelassen wird und daraus etwas gestohlen wird?

3.
Sie verfügen über eine ansehnliche Sammlung an "Überraschungseifiguren". Die einzige Figur, die Sie noch unbedingt haben möchten wäre ein Schlumpf. Sie wissen, dass ein handelsübliches Überraschungsei mit einer Wahrscheinlichkeit von

5 %

einen Schlumpf beinhaltet (egal ob Papa Schlumpf, Schlumpfine, Handy, Schlaubi usw.). Deshalb führen Sie vor dem Kauf den Schütteltest durch.

Befindet sich ein Schlumpf im Überraschungsei, bestätigt dies der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von

0.8

. Ist kein blauer Wicht im Ei, fällt der Test zu

90 %

negativ aus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schlumpf im Ei ist und der Schütteltest dies bestätigt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

20:31 Uhr, 13.11.2009

Hoi, bei 1 bin ich mir nicht sicher, was du womit meinst.. Daher nur 2 und 3:

Das Thema ist bei beiden Aufgaben "Bedingte Wahrscheinlichkeit". Eigentlich sind die Lösungen allerdings nicht sooo schwer zu errrechnen, man muss nur genau gucken, was gegeben ist:

zu

1)

Laut Text sind

25 %

aller Garagen offen, ergo sind

75 %

aller Garagen geschlossen. Nun ist bekannt, dass aus

1 %

aller geschlossenen Garagen etwas entwendet wird. Demnach sind

1 %

von

75 %

aller Garagen geschlossen und "bestohlen". Das sind

0,75 %

.

Falls du den "Satz von Bayes" behandelt hast, so kannst du das Ergebnis auch berechnen. Außerdem kannst du es aus einem zugehörigen Baumdiagramm ablesen. "Meine" Lösung verlangt so gesehen keine Rechnung, man muss nur kombinieren...

zu 2)Recht ähnlich: Wenn in

5 %

aller Eier ein Schlumpf ist und ein Test zu

80 %

einen Schlumpf bestätigt, dann sind

80 %

der

5 %

Schlumpfeier richtig getestete Ü-Eier mit Schlumpf.

80 %

von

5 %

sind

4 %

Ü-Eier mit Schlumpf und funktionierendem Test.

Gruß, IP

edit: Ich seh gerade, dass man die Schlumpffrage auch anders interpretieren kann, obwohl ich mir sicher bin, dass obig Lösung gesucht ist. Die Frage war:

"Wie groß ist die WSK, dass ein Schlumpf im Ei ist und der Test dies bestätigt?"

Meine Anwort von oben besagt, dass

4 %

aller Eier einen Schlumpf haben und von dem Test als Schlumpf enttarnt wurden. Dies beantwortet folgende Frage:

"Wie groß ist die WSK, dass ein Schlumpf im Ei ist und der Test dies bestätigt hat?"

Allerdings könnte man die Frage auch so interpretieren:

"Wie groß ist die WSK, dass ein Schlumpf im Ei ist und der Test dies bestätigen wird?"

Diese WSK ist nämlich eine andere, sie beträgt

80 %

und ist im Text angegeben.

Das ist zwar "korinthenkackerisch", aber gerade bei der Stochastik sollte man Aufgben sehr genau lesen/stellen.

Gruß IP

anonymous

21:30 Uhr, 13.11.2009

Ich probier die erste mal so, wie ich es verstehe. Zur besseren Übersicht schreibe ich für "nicht A" einen Strich über die Ereignisse, also $\bar{A}$ . So kann ich deine "c's" besser verdeutlichen:

gegeben ist:

$p (\bar{A \cup B}) = 0$

(WSK von "nicht A oder B" ist Null)

$p (\bar{A} | B) = \frac{1}{3}$

(WSK von "nicht A" unter der Bedingung B ist ein Drittel)

$p (A) = \frac{6}{7}$

(WSK von A ist sechs Siebtel)

Leider kann ich dir hier kein Baumdiagramm darstellen, so könnte man es besser nahvollziehen. Skizziere dir am besten das Baumdiagramm, samt Umgekehrten. Daran sollte man die Lösung gut nachvollziehen können. Also:

$p (\bar{A \cup B}) = 0$

daraus folgt, dass

$p (A \cup B) = 1$

(Wenn die WSK dafür, dass man nicht in A oder B ist "Null" beträgt, dann muss man (zu 100%) in A oder B sein). Weiter ist dann:

$p (\bar{A} \cap \bar{B}) = 0$

(Wenn alle in A oder B sind, kann keiner in "nicht A" und gleichzeitig in "nicht B" sein.)

Laut Aufgabe ist jetzt:

$p (A) = \frac{6}{7}$

bzw.

$p (\bar{A}) = \frac{1}{7}$

Ohnehin gilt:

$p (\bar{A}) \cdot p (\bar{B} | \bar{A}) = p (\bar{A} \cap \bar{B})$

insgesamt gilt hier also:

$\frac{1}{7} \cdot p (\bar{B} | \bar{A}) = 0$

das ist äquivalent zu:

$p (\bar{B} | \bar{A}) = 0$

dementsprechend ist:

$p (B | \bar{A}) = 1$

Jetzt können wir die WSK für "nicht A" und B berechnen, denn:

$p (\bar{A} \cap B) = p (\bar{A}) \cdot p (B | \bar{A})$

also ist hier:

$p (\bar{A} \cap B) = \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7}$

So, im Text ist noch gegeben, dass

$p (\bar{A} | B) = \frac{1}{3}$

Generell gilt wieder, dass

$p (B) \cdot p (\bar{A} | B) = p (B \cap \bar{A})$

Und wenn wir hier die beiden Lösungen einsetzen, so erhalten wir:

$p (B) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$

und dieses ist schließlich äquivalent zu:

$p (B) = \frac{3}{7}$

Also betägt die WSK für das Ereignis B drei Siebtel. Naja, gefallen hat mir mein Lösungsweg nicht, auch finde ich, dass man ihn nicht besonders toll nachvollziehen kann. Im folgenden Post daher ein Beispiel dazu, außerdem die Bitte an andere Mitleser, einen besseren Lösungsweg zu posten!

Gruß und hier das Bsp.:

anonymous

22:00 Uhr, 13.11.2009

Kommt noch, werde gerade abgeholt.. Vielleicht hat ja schon jemand eine bessere Erklrung, wenn ich zurück bin..

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