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Wahrscheinlichkeitsrechnungen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Wahrscheinlichkeit

Tobi9 aktiv_icon

18:23 Uhr, 05.03.2014

Ich habe eine Frage bezüglich den zwei Möglichkeiten bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
Es gibt ja einerseits die Binomialverteilung und andererseits die hypergeometrische Verteilung!
Meine Frage dazu: Wann verwende ich die Binomialverteilung

{P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}}

und wann verwende ich hypergeometrische Verteilung

{P (X = k) = \frac{(\begin{matrix} M \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - k \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}}

Also auf was kommt es an ob ich ersteres oder letzteres verwenden MUSS?
Nach dem was ich bis jetzt so hinterfragt habe, kommt es ja WIRKLICH NUR AUF DIE GRÖSSE DER STICHPROBE IM VERHÄLTNIS ZUR GESAMTMENGE an, stimmt das so????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

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18:33 Uhr, 05.03.2014

Beziehung zur Hypergeometrischen Verteilung

Bei der Binomialverteilung werden die ausgewählten Stichproben wieder zur Auswahlmenge zurückgeführt, können also zu einem späteren Zeitpunkt erneut ausgewählt werden. Werden im Gegensatz dazu die Stichproben nicht zur Grundgesamtheit zurückgegeben, dann kommt die Hypergeometrische Verteilung zur Anwendung. Beide gehen bei großem Umfang

N

der Grundgesamtheit und geringem Umfang

n

der Stichproben ineinander über. Als Faustregel gilt, dass für

\frac{n}{N} \leq 0 {,} 05

die Binomialverteilung der mathematisch anspruchsvolleren Hypergeometrischen Verteilung vorgezogen werden kann, da sie nur unwesentlich voneinander abweichende Ergebnisse liefern.

Tobi9 aktiv_icon

18:40 Uhr, 05.03.2014

Frage drunter

Tobi9 aktiv_icon

19:02 Uhr, 05.03.2014

Gut dann habe ich eine Rückfrage, da auf Wikipedia genau das steht "Bei der Binomialverteilung werden die ausgewählten Stichproben wieder zur Auswahlmenge zurückgeführt, können also zu einem späteren Zeitpunkt erneut ausgewählt werden. Werden im Gegensatz dazu die Stichproben nicht zur Grundgesamtheit zurückgegeben, dann kommt die Hypergeometrische Verteilung zur Anwendung."
Bei einer Impfung zeigen 1 von

100

Personen eine Impfreaktion.

20

Personen werden geimpft.
Aufgabe: Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mehr als 5 Personen eine Impfreaktion zeigen!

So hier ist mein Problem: Ich weiß zu

99 %

dass ich bei dieser Aufgabe eine Binomialverteilung verwenden muss, da unsere Lehrerin es so gesagt hat...aber wieso???
es spricht eigentlich alles für eine hypergeometrische verteilung : es ist ein Ziehen ohne Zurücklegen und die stichprobe ist groß im verhältnis zur gesamtmenge...also wieso kommt hier eine binomialverteilung zum einsatz???

Tobi9 aktiv_icon

20:54 Uhr, 05.03.2014

Könnte mir vielleicht jetzt einer helfen, wieso ich bei diesem beispiel eine binomialverteilung hernehmen muss obwohl eigentlich alles (große stichprobe im verhältnis zur gesamtmenge

+

ohne zurücklegen) für hypergeometrische verteilung spricht???

Matlog aktiv_icon

23:54 Uhr, 05.03.2014

Ich finde Deine Frage durchaus interessant!
Aber sag mir mal bitte, wie Du diese Impfaufgabe mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung lösen willst? Kannst Du das vorrechnen?

Tobi9 aktiv_icon

21:01 Uhr, 06.03.2014

Das ist ja mein Problem an dieser Aufgabe..eiegntlich denke ich nämlich, dass da eine hypergeometrische verteilung angewendet werden muss...ANDERERSEITS hab ich auch bemerkt dass man die hypergeometrische verteilung nicht anwenden kann, da aus

100

personen nur 1 eine reaktion zeigt und die aufgabe lässt mich die wahrscheinlichkeit für mehr als 5 reaktionen berechnen was zu so einer hypergeometrischen verteilung führen würde

\to \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 99 \\ 15 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 100 \\ 20 \end{matrix})} [< -

wäre jetzt die wahrscheinlichkeit für genau 5 reaktionen aber dasselbst problem stellt sich...

]

dass heißt man KANN nur eine binomialverteilung anwenden obwohl eigentlich alles für eine hypergeometrische verteilung sprechen würde...allerdings frag ich mich dann wie ich entscheiden soll, ob hypergeometrische oder Binomial-verteilung, wenn es sowieso Fallspezifisch ist

: (

Matlog aktiv_icon

21:26 Uhr, 06.03.2014

Okay. Nochmal der entscheidende Unterschied: Bei der Binomialverteilung ist die Trefferwahrscheinlichkeit immer gleich, bei der hypergeometrischen Verteilung verändert sich die Wahrscheinlichkeit wegen des Nicht-Zurücklegens.

Meiner Meinung nach entsteht die Verwirrung durch die Formulierung
"Bei einer Impfung zeigen 1 von

100

Personen eine Impfreaktion."

Hier soll das nicht bedeuten, dass wir eine Grundgesamtheit von

100

Personen haben, sondern dass die Trefferwahrscheinlichkeit für eine Impfreaktion

0,01

ist.
Wahrscheinlich fände der Aufgabensteller es zu einfach, wenn man

p = 0,01

direkt angeben würde.

Jetzt wirst Du sicher fragen: Woran kann ich das erkennen?
Wenn bei einer Impfaktion ein Teilnehmer eine solche Impfreaktion zeigt, dann beeinflusst das ja nicht die Wahrscheinlichkeit, dass diese beim nächsten Teilnehmer auftritt. Bei jeder Person ist die Wahrscheinlichkeit der Impfreaktion gleich.

Die andere Ausgangssituation (für hypergeometrische Verteilung) ist vollkommen unrealistisch:

100

Personen wollen sich impfen lassen, genau einer wird (später!) eine Impfreaktion zeigen. Das kann vorher doch noch gar nicht bekannt sein!

Ich hoffe, dass Dir das ein wenig weiterhelfen wird!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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