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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Schüler Gymnasium, 6. Klassenstufe

Tags: Stochastik, Wahrscheinlichkeitsverteilung

ellin aktiv_icon

12:46 Uhr, 31.08.2014

Hallo, ich habe mal eine Frage zur Stochastik, und zwar liegt mir folgende aufgabe vor:

Der Hausmeister einer Schule muss während eines Rundgangs im Dunkeln eine verschlossene Tür öffnen. Er hat ein Schlüsselbund
Mit

10

schlüsseln, von denen nur einer zum
Schloss passt. Je nach Stimmung probiert er der Reihe nach ohne Wiederholung alle Schlüssel durch (Methode

A)

oder er schwenkt das Schlüsselbund, um aufs Geratewohl einen Schlüssel zu versuchen, wobei eine Wiederholung nicht ausgeschlossen ist (Methode

B)

.

Man soll nun die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Und die jeweiligen Erwartungswerte ermitteln.

Für Methode A hab ich folgendes:

P (X = 1) = \frac{1}{10}

P (X = 2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{10}

P (x = 3) = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{10}

.. Es kommt immer

\frac{1}{10}

raus.
Für den Erwartungswert kann man nun:

\frac{1}{10} \cdot 1 + \frac{1}{10} \cdot 2 + \frac{1}{10} \cdot 3 + \frac{1}{10} \cdot 4 ... + \frac{1}{10} \cdot 10 = 5,5

Rechnen,

d . h

. Man erwartet nach dem

5,5

. Versuch, dass das Ereignis eintritt.

Doch bei der Methode

B

hat man ja sozusagen keine Grenze von

10,

sondern von unendlich versuchen, man weiß Nicjt, wann das Ereignis eintritt. Aus diesem Grund komm ich bei

B

nicht weiter mit meiner Berechnung.

Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand für

B

erklären könnte und ggf. Verallgemeinern könnte, wie sowas generell ausgerechnet wird.

Vielen Dank im Voraus.

LG elli :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Erwartungswert
Varianz und Standardabweichung

pleindespoir aktiv_icon

13:10 Uhr, 31.08.2014

Bei der Methode A muss eine Wahrscheinlichkeit von 1 als Summe aller Teilwahrscheinlichkeiten herauskommen.

Überlege nochmal genau, wie A definiert ist.

Bei Methode B greift er zufällig immer wieder mit der selben Wahrscheinlichkeit in die Schlüssel - wenn er Pech hat, so lange, bis es wieder Tag wird oder das Universum nicht mehr existiert ...

MaStudent aktiv_icon

13:13 Uhr, 31.08.2014

- - -

gelöscht, da falscher Ansatz

- - -

Matlog aktiv_icon

16:30 Uhr, 31.08.2014

@MaStudent:
"Kann aber auch völlig falsch sein"
Mit dieser Aussage hast Du aber sowas von Recht!

@ellin:
Für Methode A hast Du alles komplett richtig gemacht!
Was Du zu Methode

B

sagst, klingt auch gut.

Man könnte in der Tat analog vorgehen. Es ergibt sich dann allerdings eine unendliche Summe:

P (X_{B} = 1) = \frac{1}{10}

P (X_{B} = 2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{9}{100}

P (X_{B} = 3) = (1 - \frac{1}{10} - \frac{9}{100}) \cdot \frac{1}{10} = \frac{81}{100} \cdot \frac{1}{10} = \frac{81}{1000}

P (X_{B} = 4) = (1 - \frac{1}{10} - \frac{9}{100} - \frac{81}{1000}) \cdot \frac{1}{10} = \frac{729}{1000} \cdot \frac{1}{10} = \frac{729}{10000}

. .

.
Also

E (X_{B}) = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot \frac{9^{k - 1}}{10^{k}} = \frac{1}{9} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot {(\frac{9}{10})}^{k}

Dies kann man jetzt mit einer bestimmten Formel (aus dem Themengebiet der geometrischen Reihen) ausrechnen.

Ziemlich kompliziert, wirst Du vermutlich sagen?
In der Tat!

Einen solchen Erwartungswert kann man viel einfacher rekursiv berechnen:
Man startet und braucht mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{10}

nur einen Versuch, mit Wahrscheinlichkeit

\frac{9}{10}

hat man einen Versuch umsonst gemacht und braucht ab jetzt durchschnittlich wieder genauso viele Versuche wie vor dem Start.

E (X_{B}) = \frac{1}{10} \cdot 1 + \frac{9}{10} \cdot (1 + E (X_{B}))

Diese Gleichung nach

E (X_{B})

aufzulösen überlasse ich nun Dir!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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