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Wahrscheinlihckeiten Münzwurf

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Münzwurf, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß

irelia10 aktiv_icon

21:21 Uhr, 14.05.2017

Hey Leute, sitze schon etwas länger an dieser Aufgabe und komme einfach nicht mehr weiter weil es etwas verwirrend ist:

Die Aufgabe lautet:
Man hat 2 gezinkte Münzen

a, b

. a zeigt mit

\frac{3}{4}

Kopf,

b

zeigt mit nur

\frac{1}{4}

Kopf. Man hat jedoch vergessen, welche Münze

\frac{3}{4}

bzw.

\frac{1}{4}

zeigt. Um das herauszufinden wählt man zufällig eine der Münzen und wirft diese n-mal.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man im n-ten Wurf Kopf?

2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man im n-ten Wurf Kopf wirft, wenn die vorherigen Würfe alle Kopf gezeigt haben? Wie ist das Verhalten für

n \to

∞.

3. Zu zeigen, dass man mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{1 + 3^{n - 2 m}}

Münze a gewählt hat, wenn

m

ihrer

n

Würfe Kopf gezeigt haben.

zu 1: Zuerst wählt man ja eine Münze, also ist die Wahrscheinlichkeit a bzw.

b

zu wählen jeweils

\frac{1}{2}

. Die Wahrscheinlichkeit a zu wählen und dann im n-ten Wurf Kopf zu werfen ist ja

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

. Die Wahrscheinlichkeit

b

zu wählen und dann im n-ten Wurf Kopf zu werfen ist

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}

. Also ist die gesamte Wahrscheinlichkeit, dass man im n-ten Wurf Kopf wirft ja

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2},

da es egal ist ob es der erste, zweite, dritte, vierte... n-te Wurf ist, da die Wahrscheinlichkeit unabhängig ist, oder?

zu 2: Ist das nicht das selbe wie

a,

da es egal ist ob die letzten Würfe alle Kopf gezeigt haben, denn alle Würfe sind unabhängig voneinander?

zu 3: habe da leider keinen Lösungsansatz. Schaut für mich aber etwas nach der geometrischen Reihe aus...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:46 Uhr, 14.05.2017

1 .)

Ja, gut gemacht.

zu

2 .)

Bedenke: Wenn du nicht erst ein paar wenige Male, sondern schon einige Male geworfen hast, und die Münze immer Kopf zeigte, wie die Aufgabe es beschreibt, welche Münze hast du denn dann wohl 'wahrscheinlich' in der Hand?

irelia10 aktiv_icon

22:08 Uhr, 14.05.2017

Ich weiß nicht so recht, ob ich die Aufgabenstellung der 2. richtig verstanden habe, aber man geht ja noch davon aus, dass man nicht weiß welche Münze es ist, oder? Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit für hohes

n

im n-ten Wurf Kopf zu werfen eher

\frac{3}{4},

wenn die vorherigen Würfe alle Kopf waren, da es wahrscheinlich Münze a ist. Bei

b

könnte man aber auch nur Kopf werfen, mit viel Glück.

Aus der Teilaufgabe 1. hat man ja schon berechnet, dass die Wahrscheinlichkeit Kopf im n-ten Wurf zu werfen genau

\frac{1}{2}

beträgt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass

n - 1

Würfe hintereinander alle Kopf sind, ist demnach

{(\frac{1}{2})}^{n - 1}

. Da man aber ja nur wissen will mit welcher Wahrscheinlichkeit der n-te Wurf Kopf ist, wäre das wieder

\frac{1}{2},

da die 2 Ereignisse:

n - 1

Würfe sind Kopf, n-ter Wurf ist Kopf unabhängig sind? Oder gibt es da eine Abhängigkeit?

Roman-22

22:56 Uhr, 14.05.2017

Weiß nicht, ob kreadoor noch online ist, da nach fast einer Stunde noch keine Antwort erfolgt ist, mach ich mal weiter.

>

Die Wahrscheinlichkeit, dass

n - 1

Würfe hintereinander alle Kopf sind, ist demnach

(12) n - 1

Falsch. Das ist nur dann richtig, wenn du nach jedem Wurf erneut per Zufall eine der beiden Münzen wählst. Wir haben es aber die ganze Zeit mit der gleichen Münze zu tun.
Nimm zur Verdeutlichung das Extrembeispiel: Eine Münze zeigt immer Kopf, die andere immer Zahl.
Die Wkt, dass wir nach Wahl einer Münze beim n-ten Wurf Kopf sehen ist

50 %,

so wie in deinem Beispiel:

\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}

Jetzt wählen wir wieder eine Münze nach Belieben und werfen sie ein paar Mal und wir sehen immer Kopf. Meinst du trotzdem, die Wkt, dass der nächste Wurf Kopf ist ist wieder

\frac{1}{2}

. Natürlich nicht . bereits nach dem ersten Kopf wissen wir doch schon mit Sicherheit, dass wir die Münze haben, die immer Kopf zeigt und die Wkt, dass der nächste Wurf Kopf ist, ist

100 %,

das sichere Ereignis. Also ja, das gibts wohl eine Abhängigkeit vom vorherigen Wurf ;-)

Du weißt also, dass die ersten

n - 1

Würfe alle Kopf waren und möchtest unter dieser Voraussetzung wissen, wie groß die Wkt ist, das der nächste Wurf wieder Kopf ist. Nach Bauchgefühl ist er größer als

50 %,

da wir es mit höherer Wkt mit der gezinkten Münze zu tun haben, die zu

75 %

Kopf zeigt.
Trotzdem hast du natürlich Recht - es könnte auch die andere Münze sein.

Also

1)

berechne die Wkt, dass die 3/4-Münze gewählt wurde und sie (n-1)-mal Kopf zeigt

\to p_{1}

2)

berechne die Wkt, dass die 1/4-Münze gewählt wurde und sie (n-1)-mal Kopf zeigt

\to p_{2}

Eines dieser beiden Ereignisse ist sicher eingetreten.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir es mit der

\frac{3}{4}

Münze zu tun haben ist nach Bayes

P (\frac{3}{4} - M u e n z e) = \frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}}

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir es mit der

\frac{1}{4}

Münze zu tun haben ist nach Bayes

P (\frac{1}{4} - M u e n z e) = \frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2}}

Die Wkt, dass der n-te Wurf wieder Kopf ist setzt sich nun zusammen aus

P (\frac{3}{4} - M u e n z e) \cdot \frac{3}{4} + P (\frac{1}{4} - M u e n z e) \cdot \frac{1}{4}

Bereits bei

n = 2,

also wenn wir gerade mal einmal Kopf gesehen haben, ist die Wkt, dass der zweite Wurf auch Kopf ist bereits

\frac{5}{8} = 62,5 %

.
Haben wir bereits 5 Köpfe gesehen

(n = 6),

so ist die Wkt für den sechsten Kopf bereits

\frac{365}{488} \approx 74,8 %,

also schon recht nahe am Grenzwert.

irelia10 aktiv_icon

18:01 Uhr, 15.05.2017

Vielen Dank, hab es nun einigermaßen verstanden! :-)

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