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Wann Binomialansatz und wann nicht?

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Bernoulli-Kette, Binomialkoeffizient, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit

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17:21 Uhr, 23.03.2017

Aufgabe: Erläutern Sie den Unterschied bei den Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten in

(1)

und

(2)

. Begründen Sie, warum man in

(1)

einen Binomialansatz verwenden darf und in

(2)

nicht.

(1)

In einer Bevölkerungsgruppe haben

70 %

der Erwachsenen einen Führerschein.

10

erwachsene Personen werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen

10

Befragten genau 7 Personen einen Führerschein haben.
(2)

21

von

30

Kindern einer Klasse kommen mit dem Bus zur Schule. Für eine Befragung werden

10

von

30

Kindern zufällig ausgewählt. Untersuchen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit unter den

10

Befragten genau 7 Kinder sind, die mit dem Bus zur Schule kommen.

Ich sehe ehrlich gesagt keinen Unterschied zwischen den beiden.
Bei

(1)

habe ich mithilfe der Bernoullie-Formel eine Wahrscheinlichkeit von

26,6 %

berechnet, aber bei

(2)

darf ich das anscheinend nicht so machen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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17:34 Uhr, 23.03.2017

1)

Grundgesamtheit ist sehr groß.
Die WKT. ändert sich beim Ziehen so gut wie nicht.

2)kleine Grundgesamtheit

- \to

hypergeometrische Verteilung
Mit jedem Zug ändert sich dei WKT.

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17:49 Uhr, 23.03.2017

Ja, das klingt logisch.

Ich bin mir nicht sicher ob man bei

(2)

dann folgendes rechnet:

P (2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}

Sieht das so okay aus?

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18:16 Uhr, 23.03.2017

(\begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix}) \cdot \frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21} = 0,325 = 32,5 %

oder:

\frac{(\begin{matrix} 21 \\ 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 30 - 21 \\ 10 - 7 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 30 \\ 10 \end{matrix})}

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18:22 Uhr, 23.03.2017

Wir haben grade erst die Bernoulli-Formel kennengelernt und deine Lösung ist wohl schon etwas fortgeschritten, weil ich nämlich nicht so viel damit anfangen kann.
Gibt es einen vereinfachten Lösungsweg?

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18:30 Uhr, 23.03.2017

Die 1. Variante solltest du kennen.
Die 2. Variante entspricht der Lösung per Baumdiagramm. Wichtig ist alle möglichen Reihenfolgen bei den Pfaden zu berücksihtigen, das sins

120 = (\begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix})

Die

2,

Variante ist der schnellste Weg = Hypergeometrische Verteilung:

http//www.frustfrei-lernen.de/mathematik/hypergeometrische-verteilung.html

Anders ist die Aufgabe nicht lösbar.

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18:59 Uhr, 23.03.2017

Du hast recht. Dankeschön.

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