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Wann Graph v. Gleichung 4. Grades ohne Wendepunkt

Lehrer

Tags: Bedingung, Funktion 4. Grades, ohne Wendepunkt

LottiKarotti aktiv_icon

21:28 Uhr, 25.02.2015

Mir fehlt die entscheidende Idee zur Lösung einer Aufgabe.

Klar ist, dass die dritte Ableitung gleich Null sein muss; den entsprechenden x-Wert habe ich errechnet. Was sagt mir aber dieser Wert? Wie kann ich ihn nutzen?

Herzlichen Danke für die Denkhilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

21:42 Uhr, 25.02.2015

Die notwendige Bedingung für den Wendepunkt ist

f'' (x) = 0

.
Untersuche, wann diese Gleichung keine Lösungen haben kann.

LottiKarotti aktiv_icon

21:56 Uhr, 25.02.2015

Hallo und besten Dnk für die schnelle Antwort.
Leider kann ich diese nicht nutzen, weil von einem anderen Ansatz ausgegangen bin: hinreichend Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass f´´´(x) ungleich Null ist. Also gilt, dass kein Wendepunkt existiert, wenn die dritte Ableitung gleich Null ist.
Dem entsprechend habe ich den x-Wert ermittelt, kann aber mit diesem nichts anfangen.
Was tun, um die im Bild dargestellte Aufgabe zu lösen?

Respon

22:00 Uhr, 25.02.2015

Wenn Wendepunkte existieren sollen, dann muss gelten

f'' (x) = 0

f'' (x) = 3 \cdot x^{2} - 18 \cdot x + 2 \cdot a

3 \cdot x^{2} - 18 \cdot x + 2 \cdot a = 0

Und jetzt untersucht man, wann diese Gleichung KEINE Lösungen

(\in ℝ)

besitzt.

LottiKarotti aktiv_icon

22:16 Uhr, 25.02.2015

Danke Respon, mein

f

(x) = 3 x^{2} - 18 x + 24 |

Ihr f´´(x)=3x^2-18x+2a | woher kommen die

2 a

Respon

22:20 Uhr, 25.02.2015

f (x) = \frac{1}{4} \cdot x^{4} - 3 \cdot x^{3} + a \cdot x^{2} - 16 \cdot x + 4

f' (x) = x^{3} - 9 \cdot x^{2} + 2 \cdot a \cdot x - 16

f'' (x) = 3 \cdot x^{2} - 18 \cdot x + 2 \cdot a

Ma-Ma aktiv_icon

22:21 Uhr, 25.02.2015

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In welchem Forum läuft dieser Thread? LG Ma-Ma

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Respon

22:25 Uhr, 25.02.2015

3 \cdot x^{2} - 18 \cdot x + 2 \cdot a = 0

x^{2} - 6 \cdot x + \frac{2}{3} \cdot a = 0

x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - \frac{2}{3} \cdot a}

Und nun überlege, wann es keine reelle Lösungen geben kann.

Ma-Ma aktiv_icon

22:28 Uhr, 25.02.2015

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In welchem Forum läuft dieser Thread?
Ist weder im Schüler- noch im Studentenforum sichtbar ..
LG Ma-Ma

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abakus

22:32 Uhr, 25.02.2015

" hinreichend Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass f´´´(x) ungleich Null ist. "

Wo hast du den Unfug her?
Nimm die Funktion f(x)=

x^{5}

.
Die hat bei x=0 eine Wendestelle (Wechsel des Krümmungsverhaltens bzw. lokal kleinster Anstieg), aber die dritte Ableitung dort ist Null.

Respon

22:40 Uhr, 25.02.2015

Um reelle Werte für den Wendepunkt zu erhalten, muss gelten:

9 - \frac{2}{3} \cdot a \geq 0

Keinen Wendepunkt gibt es für

9 - \frac{2}{3} \cdot a < 0 \Rightarrow a > 13,5

Und überlege noch, was bei

a = 13,5

geschieht.

Bummerang

09:18 Uhr, 26.02.2015

Hallo Gast62,

"' hinreichend Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass f´´´(x) ungleich Null ist. '

Wo hast du den Unfug her?"

Das ist leider eine Folge davon, dass Lehrer an Schulen solche verkürzenden Sprechweisen durchgehen lassen, wenn zuvor die notwendige Bedingung geprüft wurde und auch erfüllt ist. Was sich bei Schülern ohne tiefergehende mathematische Kenntnisse festsetzt ist allein diese verkürzte Sprechweise. Gute Lehrer weisen stets darauf hin, dass die hinreichende Bedingung vollständig heisst, dass

f'' (x) = 0

und

f''' (x) \neq 0

gelten muss! Leider sind gute Lehrer in der Unterzahl!

PS: Ich habe nur Lehrer geschrieben, da mir der neudeutsche Usus mit "Lehrerinnen und Lehrer" zu lang ist. Gemeint sind aber beide!

Respon

09:22 Uhr, 26.02.2015

Auch bei

f''' (x) = 0

muss der Wendepunkt noch nicht "gestorben" sein.
Voraussetzung: Weiteres Differenzieren möglich.

LottiKarotti aktiv_icon

09:36 Uhr, 26.02.2015

Danke Respon. Nahezu ein wenig ist mir meine Frage nach der Quelle der "2a" peinlich; vielleicht lag´s an der Uhrzeit oder eher an meinem Geburtsjahr (siehe www.rehle-berlin.eu).
Damit möchte ich auch die Herkunft meiner Frage benennen: ich unterstütze meinen Enkel. Das Bild zeigt die Quelle meines Ansatzes mit der dritten Ableitung. Es entstammt einem Tafelwerk, gekauft