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Wann dürfen Quantoren weggelassen werden?
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Prädikatenlogik, quantor, Sonstiges
 
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Hallo zusammen, immer wieder bin ich mir nicht sicher, ob ich die Quantoren in bestimmten Fällen weglassen bzw. umschreiben kann. Nun habe ich die folgende konkrete Aufgabe zu lösen: Es seien und die folgenden Aussagen über eine natürliche Zahl : "Die Zahl ist gerade." "Die Zahl ist eine Primzahl." "Die Zahl efüllt ." Übersetzen Sie in Symbolsprache: Für jede natürliche Zahl gilt: Wenn und wahr sind, so gilt auch . Mir fallen folgende Varianten dazu ein. Bei bis verwende ich den Allquantor, nur die Schreibweisen sind verschieden. Hier lasse ich den Allquantor weg Kann mir bitte jemand sagen, ob alle fünf Varianten syntaktisch korrekt und inhaltlich identisch sind? Darf denn überhaupt der Quantor weggelassen werden? Wenn ja, gibt es eine allgemeine Regel dafür? Danke vorab für jede Antwort. Viele Grüße Asg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ja, es gibt logische Regeln zum Weglassen der Quantoren. Ich kopiere Dir einfach meine Mitschriftaus einem Logikbuch. Den Allquantor , weglassen nennt man Allbeseitigung. Den Existenzquantor , weglassen nennt man Existenzbeseitigung. Zur Allbeseitigung: -------------------- Dass Schlüsse dieser Struktur: ⋀xFx --Fa gültig sind, kann man als Regel formulieren, welche einem die Erlaubnis gibt, unter ein Prämisse dieser Struktur einer Konklusion dieser Struktur zu schreiben. Unsere Regel heißt "Regel der All-Beseitigung" (abgekürzt: ⋀B), weil sie einen Allquantor wegzaubert. Schlussregeln müssen gültige Schlüsse erzeugen. Wir müssen zeigen, dass die "Regel der All-Beseitigung" eine korrekte Regel ist. (korrekte Regeln: Sind Regeln, die erlauben, gültige Schlüsse zu ziehen, Schlüsse die deduktiv zwingend sind.) Wir können dies auch zeigen. Wir benutzen die Def. des gültigen Schlusses. Ein Schluss ist gültig, wenn es keinen strukturgleichen Schluss mit lauter wahren Prämissen und falscher Konklusion gibt. Die Struktur unseres Schlusses lautet: ⋀xFx ---Fa Kann die Prämisse eines Schlusses mit dieser Struktur wahr sein und die Konklusion falsch? Nein; denn der Ausdruck "⋀xFx" ist ja von uns so definiert worden, dass er nur dann wahr ist, wenn jede Einsetzung eines Individuennamens in "Fx" einen wahren Satz ergibt. Der Schluss ist also gültig, die Regel der All-Beseitigung korrekt. Zur Existenzbeseitigung: ------------------------- Wenn die Prämissen besagen oder wenn aus ihnen folgt, dass ein Prädikat auf mindestens ein Individuum zutrifft, dann darf man einen dieser unbekannten Individuen einen vorläufigen Namen geben. wichtige Vorsichtsmaßnahme: Man kennzeichnet den Namen als vorläufig, etwa durch einen * a*, b* usw. Mit dieser Kennzeichnung nehmen wir an, dass wir von a* bzw. b*, .... nur wissen, dass es eines der Individuen ist, auf die das fragliche Prädikat zutrifft. z.B. 1 Vx(∧y(x liebt y))-----Es gibt einen, der alle liebt 2----∧y(a* liebt y)---a* sei so einer, der alle liebt 3----a* liebt a-----Dann liebt a* auch a Bei dieser Zeile dürfen wir allerdings nicht stehen bleiben; wir müssen ausdrücklich kenntlich machen, dass wir von a* nichts weiter wissen, als dass a* eines von den Individuen ist, die alle und darum auch b lieben: 4----Vx(x liebt a)----Also liebt jemand a Für den Übergang von Zeile 2 zu 3 haben wir die uns schon bekannte Regel der All-Beseitigung angewandt, von 3 nach 4 die Existenzeinführung. Die von 1 nach 2 benutzte Regel heißt kurz "Existenzbeseitigung", abgekürzt VB, weil der Existenzquantor für ein paar Zeilen verschindet. |
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Hallo, tut mir leid für die sehr späte Antwort und vielen Dank für die umfangreiche Beschreibung. Ich muss es etwas genauer studieren. Liebe Grüße Asg |
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