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Wann fällt der Ball wieder herunter

Schüler

Tags: quadratisch gleichung

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10:56 Uhr, 14.11.2022

Die Aufgabe:

Ein Ball wird von einem Balkon in die Höhe geworfen. Mit folgender quadratischen Gleichung

h (t)

wird angeben, wann der Ball seinen Hochpunkt erreicht.

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t + 3 [t

in Sekunden

]

Die Fragestellung lautet:

Nach wie vielen Sekunden nach Erreichung der maximalen Höhe kommt der Ball wieder auf die gleiche Höhe seines Ausgangspunktes.

Durch lösen der Quadratischen Gleichung komme ich auf zwei Nullstellen. Die zweite Nullstelle liegt bei 6 Sekunden (auf ganze Sekunden gerundet). Da es sich um eine Parabel handelt liegt der Extremwert exakt zwischen beiden Nullstellen auf der t-Achse.

(1

. Ableiung geht auch, aber das haben sie noch nicht gelernt).

Daher wäre die Antwort auf die Fragestellung: 3 Sekunden.

Das ist auch der vorgeschriebene Lösungsansatz (Aufgabestellung 9.Schulstufe bzw. 5.Klasse AHS in Österreich).

Meine Frage dazu: Kann das eigentlich stimmen, wenn ich laut Aufgabenstellung eine Quadratische Gleichung habe, mit der man den Extremwert berechnen kann, dass ich daraus zwingend schlussfolgern kann, wie lange der Ball dann wieder hinunter braucht?

Respon

11:30 Uhr, 14.11.2022

Ein Ball wird von einem BALKON in die Höhe geworfen.

Nach wie vielen Sekunden nach Erreichung der maximalen Höhe kommt der Ball WIEDER AUF DIE GLEICHE HÖHE SEINES AUSGANGSPUNKTES .

Hast du das beachtet ?
Die x-Achse hat damit nichts zu tun.

Roman-22

12:01 Uhr, 14.11.2022

>

Mit folgender quadratischen Gleichung

h (t)

Nein!

h (t)

ist keine Gleichung, sondern eine (quadr.) Funktion!

>

wird angeben, wann der Ball seinen Hochpunkt erreicht.
Nein! Mit dieser Funktion wird angegeben, in welcher Höhe sich der Ball zu jedem Zeitpunkt befindet. Natürlich lässt sich damit auch der Zeitpunkt der maximalen Höhe angeben.

>

Daher wäre die Antwort auf die Fragestellung: 3 Sekunden.
Nein! Auch wenn es richtig ist, dass sich der Extremwert zwischen den beiden Nullstellen einstellt - es ist doch in der von dir gegebenen Aufgabenstellung gar nicht gefragt, wann der Ball seine maximale Höhe erreicht.

Die Frage, nach wie vielen Sekunden der Ball wieder die Balkonhöhe erreicht ist nur leider mit den gegebenen Angabestücken nicht berechenbar. Der Fragesteller gibt nicht an, zu welchem Zeitpunkt der Ball vom Balkon hochgeworfen wird. Man kann nur vermuten, dass er möchte, dass wir annehmen, dass das bei

t = 0

geschieht.
Wenn wir dieser Annahme folgen, musst du dir nur die Frage stellen, welche Höhe der Ball bei

t = 0

hat (Balkonhöhe) und wann er diese Höhe wieder erreicht. Die sich da ergebenden quadratische Gleichung ist besonders einfach auch im Kopf durch Herausheben und Anwenden des "Produkt-Null-Satzes" zu lösen.

Eine kleine Diskrepanz: In deinem Text lautet das freie Glied des quadratischen Funktionsterms

+ 3,

in deiner Zeichnung aber

+ 5

. Auf das Ergebnis hat das in diesem Fall aber keine Auswirkung.

HAL9000

13:25 Uhr, 14.11.2022

Respekt, strammer Schuss bzw. Wurf: Die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 30 m/s² = 108 km/h schaffen sowohl im Fuß- als auch Handball wohl eher nur Profis.

Kann natürlich auch ein Tennisball gemeint sein, da sind solche Geschwindigkeiten auch für Amateure erreichbar.

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13:28 Uhr, 14.11.2022

Zuerst einmal danke für die Antworten.

Ja, habe ich falsch benannt. Es geht um eine quadratische Funktion. War schlampig von mir.

>

wird angeben, wann der Ball seinen Hochpunkt erreicht.
>>Nein! Mit dieser Funktion wird angegeben, in welcher Höhe sich der Ball zu jedem Zeitpunkt >>befindet. Natürlich lässt sich damit auch der Zeitpunkt der maximalen Höhe angeben.

Davon wäre ich auch ausgegangen. Aber die Angabe war ausdrücklich so, dass damit berechnet werden kann, zu welcher Zeit

t

in Sekunden sich der Ball in seinem Extremum befindet.

>>Hast du das beachtet ?
>>Die x-Achse hat damit nichts zu tun.

Stimmt, das ist mir erst durch deinen Hinweis aufgefallen. Das macht das wieder logischer, wenn man annimmt, dass der Ball bei

t = 0

hinauf geworfen wird.

>>Der Fragesteller gibt nicht an, zu welchem Zeitpunkt der Ball vom Balkon hochgeworfen wird. >>Man kann nur vermuten, dass er möchte, dass wir annehmen, dass das bei

t = 0

geschieht.

Wie gesagt, dieser Punkt fehlt bei der Angabe.

Also dann würde ich das so angehen:

h (0) = - 5 t^{2} + 30 t + 3 \Rightarrow h (0) = 3

Somit weiß ich die Höhe des Balkons. Das heißt ich muss in weiterer Folge die beiden Werte ermitteln, bei denen

h (t) = 3

[

Wobei ich ja einen schon habe]

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t + 3 = 3 \to

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t = 0 \to

h (t) = t^{2} - 6 t \to

h (t) = t (t - 6) \to t 1 = 0

und

t 2 = 6

Da sich beide auf derselben Höhe der y-Achse befinden, liegt der Extremwert genau in der Mitte auf der x-Achse der beiden Punkte, oder? Also bei

t = 3 (1

. Ableitung Nullsetzen hilft da auch).

Jetzt muss ich dann nur noch

6 - 3 = 3

rechnen. Weil die Frage war ja, wie viele Sekunden er vom höchsten Punkt zum Ausgangspunkt benötigt. Stimmt das jetzt, wie ich das sehe? (Sorry, bin halt "nur" ein Vater, der sich noch halbwegs mit Mathe auskennt.)

Danke für den Hinweis, dass ich auch beim Eingeben in Geogebra schlampig war.

>>Respekt, strammer Schuss bzw. Wurf: Die Anfangsgeschwindigkeit

v 0 = 30

m/s²

= 108

km/h >>schaffen sowohl im Fuß- als auch Handball wohl eher nur Profis.

Habe gar nicht daran gedacht, mir das auszurechnen. Danke dafür.

HAL9000

13:37 Uhr, 14.11.2022

Sorry für den Einheitenfehler: Weiß nicht welcher Teufel mich geritten hat, da m/s² zu schreiben... gemeint ist natürlich m/s (das km/h war dagegen richtig).

Respon

13:56 Uhr, 14.11.2022

Finde den Fehler

. .

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14:00 Uhr, 14.11.2022

Mann oh Mann :-D) - aber hast ja Recht:

h (0) = - 5 \cdot 0^{2} + 30 \cdot 0 + 3 = 3

Leider kann ich das in den ursprünglichen Antworten nicht mehr editieren. Aber ist ja gut, so, dass meine Schlampereien an den Pranger gestellt werden.

Respon

14:04 Uhr, 14.11.2022

Und wenn wir schon dabei sind.
Finde die Fehler...

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14:15 Uhr, 14.11.2022

h (t) = 3

- 5 t^{2} + 30 t + 3 = 3 | - 3

- 5 t^{2} + 30 t = 0 | : (- 5)

t^{2} - 6 t = 0 \Rightarrow t (t - 6) = 0

t 1 = 0

und

t 2 = 6

Danke(hoffe ich hab nicht was übersehen)
Die Abstände werden leider zwischen der Rechnung und | nicht gemacht. Weiß nicht, wie ich das lösen könnte.

Respon

14:22 Uhr, 14.11.2022

Ich "erzwinge" Abstände immer mit Alt+255 ( auf dem Ziffernblock )

- 5 \cdot t^{2} + 30 \cdot t + 3 = 3

- 3

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15:48 Uhr, 14.11.2022

Nachdem keine "finde den Fehler" und andere Antworten, die darauf schließen lassen, dass ich außer etwas schlampig gewesen zu sein, mit meiner Vorgehensweise richtig liege, schließe ich das ganze und bedanke mich nochmals bei allen, die ihren Beitrag dazu gegeben haben.

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