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Wann gilt Gleichheit?

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Tags: Lösung eines Heuristischen Problems

AS1980

10:59 Uhr, 28.01.2010

Moin Leute,

könnt Ihr mir bei dieser Ungleichung weiterhelfen?

Ich benötige einen vollständigen Lösungsweg!

für alle a, b $\in R +$ und n $\in$ N

$(n - 1) a^{n} + b^{n} \geq n a^{n - 1} b$

Wann gilt die Gleichheit?

Für die gesamte Lösung wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

15:17 Uhr, 28.01.2010

Zur Vereinfachung erst einmal durch

a^{n} (> 0)

teilen und

\frac{a}{b} = y

substituieren (dann ist wiederum

y \in ℝ^{+})

. Dann wird daraus

n - 1 + y^{n} \geq n y

Das erinnert entfernt an die Bernoulli-Ungleichung, bei der allerdings

{(1 + x)}^{n}

auftaucht; sustituiere also weiter

y = 1 + x

(wodurch wir nur noch

x > - 1

erwarten können, was aber zum Glück wie die Faust aufs Auge zu Bernoulli passt):

n - 1 + {(1 + x)}^{n} \geq n \cdot (1 + x)

\Leftrightarrow

{(1 + x)}^{n} \geq n \cdot x + 1

und das ist in der Tat Bernoulli.

Für einen Vorwärts-Beweis, setze also

x = \frac{a}{b} - 1

in Bernoulli ein und forme um.

Ach ja: Wann gilt Gleichheit? Nun, wann gilt denn bei Bernoulli Gleichheit?

AS1980

15:50 Uhr, 28.01.2010

hallo hagman,

ich habe keine ahnung :-)

würde es dir was ausmachen, mir eine komplette lösung (auch mit dem vorwärts-beweis) zu liefern.

ich habe es nur für eine freundin hereingestellt, die diese lösung für eine hausaufgabe benötigt.

bei beantwortung, sollte ich ihr das herüber senden.

mfg

hagman aktiv_icon

09:56 Uhr, 29.01.2010

Die Bernoullische Ungleichung ist der folgende Satz:
Für

x \in ℝ

mit

x \geq - 1

und

n \in ℕ_{0}

gilt

{(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x

Hierbei gilt Gleichheit genau dann, wenn

n < 2

oder

x = 0

.

Seien

a, b \in ℝ^{+}

und

n \in ℕ

. Dann ist

x := \frac{b}{a} - 1 > - 1

.
Einsetzen ergibt daher

{(1 + \frac{b}{a} - 1)}^{n} \geq 1 + n \cdot (\frac{b}{a} - 1)

\Leftrightarrow {(\frac{b}{a})}^{n} \geq 1 + n \cdot \frac{b}{a} - n | \cdot a^{n}

(NB:

a^{n} > 0)

\Leftrightarrow b^{n} \geq a^{n} + n \cdot b \cdot a^{n - 1} - n \cdot a^{n}

\Leftrightarrow b^{n} \geq a^{n} + n \cdot b \cdot a^{n - 1} - n \cdot a^{n} | + (n - 1) \cdot a^{n}

\Leftrightarrow (n - 1) \cdot a^{n} + b^{n} \geq n \cdot b \cdot a^{n - 1}

In der ersten (und somit auch der letzten) Zeile gilt Gleichheit genau dann, wenn

x = 0

oder

n < 2,

also genau dann wenn

a = b

oder

n = 1

-

Bemerkung: Manchmal findet man als Bernoulli-Ungleichung auch eher
Für

x \in ℝ

mit

x ≻ 1, x \neq 0

und

n \in ℕ, n \geq 2

gilt

{(1 + x)}^{n} > 1 + n x

.

Ausgehend davon findet man dann auf demselben Wege die strikte Ungleichung (unter der Voraussetzung

a \neq b

und

n \geq 2)

und muss dann die Ausnahmen

a = b

bzw.

n = 1

direkt prüfen.

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