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Wann haben beide Autos Motorschaden ?

Universität / Fachhochschule

Tags: Erwartungswert

pleindespoir aktiv_icon

20:15 Uhr, 13.09.2014

Ein PKW hat eine durchschnittliche Laufzeit von 100.000 km bis er Motorschaden hat.

Herr Mayer und seine Frau wollen immer mobil sein und besitzen daher 2 Autos. Beide werden gleich beansprucht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Autos gleichzeitig kaputt, wenn sie zusammen 100.000 km gefahren sind ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

solamente aktiv_icon

23:06 Uhr, 15.09.2014

da kannste SO rein gar nix zu sagen...

wir wissen weder was für eine art verteilung das ist noch was für randwerte das ganze hat... soll heißen varianzen oder ähnliches.

rein aus der überlegung - "durchschnittliche" laufzeit könnte man auf ne normalverteilung mit mü = 100oookm schließen und dann sagen "okay standardnormalverteilung - und dann kann man da

n

konstrukt drauf zusammendrehen... aber wirklich sinnvoll ist das nicht.

außerdem "mit welcher wahrscheinlichkeit sind beide kaputt wenn zusammen 100oookm"

. .

. ich hab ja GAR keine angabe wie weit der iene wagen gelaufen ist - also hab ich auch keinen wert mit dem ich bei der verteilung arbeiten kann... ich kann ja dann nur sagen "ok der eine ist

X

km und der andere

1 - X

km gefahren... und dann bekommste irgendeine von der gefahrenen km abhängigen wahrscheinlichkeit raus...

die frage die ich mir nun stelle - SOLL das so kompliziert sein?! oder ist das nur son einzeiler?

grüße

pleindespoir aktiv_icon

12:28 Uhr, 16.09.2014

Wenn bei 100000km der Motor kaputtgeht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim ersten Kilometer kaputt geht 1/100000.

Das ist die Grundlage der Verteilung. Keine Gaussglocke um die 100000, sondern "gleichmässig". Allerdings darf der Motor nur einmal kaputt gehen - also wenn er schon kaputt ist, wird nicht weitergefahren, sondern die Kaputtwahrscheinlichkeiten für weitere Schäden entfallen.

anonymous

13:16 Uhr, 16.09.2014

Hallo Pleindespoir
"Wenn bei 100000km der Motor kaputtgeht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim ersten Kilometer kaputt geht 1/100000."
Nein das ist falsch.
Wie solamente schon sagte, ist der Zusammenhang abhängig von der Verteilung.

Die Verteilung sei "gleichmässig".
Was soll das sein? Mache eine eindeutige Definition. Dann klärt sich dein Knoten im Hirn vielleicht von selbst.

Die Aussage
"Ein PKW hat eine durchschnittliche Laufzeit von

100.000

km bis er Motorschaden hat."
ist übrigens nicht gleich der Aussage
"die Wahrscheinlichkeit, dass (der Motor) beim ersten Kilometer kaputt geht, (ist) 1/100000."
Auch das wieder ist abhängig von der Verteilung.

Wenn die Wahrscheinlichkeit fürs Kaputtgehen auf jedem Kilometer gleich wäre, dann kannst du dich der Problematik ja durch ein Baumdiagramm nähern.
Du bist hier im Forum präsent genug, dass man dir in diesen Dingen der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht auf das Pferd helfen muss.

pleindespoir aktiv_icon

13:54 Uhr, 16.09.2014

Wahrscheinlich bin ich der schlechteste Wahrscheinlichkeitsberechner ... davon habe ich extrem wenig Schimmer und lese mich grade etwas warm. Ich guck mal was ich noch so zu dem Problem herausfinden kann. Mit dem Baumdiagramm habe ich schon angefangen, aber leider hat es über Nacht geregnet und so ist die Skizze, die ich auf dem Wiesengrundstück hinterm Haus angefangen habe, nun ganz unleserlich. Ist schon richtiger Aufwand, sämtliche Verweigungen für die 100.000 km aufs Papier zu bringen ...

Ich melde mich dann wieder wenns trockner wurde.

anonymous

00:25 Uhr, 17.09.2014

Hallo
Hier meine Überlegungen zum Ereignis- bzw. Wahrscheinlichkeitsbaum.
Sei

p

die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor innerhalb eines ausgewiesenen Kilometers defekt wird, (wenn er vorher noch funktionierte).
Diese Wahrscheilichkeit sei stets gleich, unabhängig davon, wie weit der Motor schon gefahren ist.
Dann ist

q

die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor innerhalb einens ausgewiesenen Kilometers kaputt geht, (wenn er vorher noch funktionierte). Dann gilt:

q = 1 - p

Schauen wir uns mal die Möglichkeiten an:

a)

mit der Wahrscheinlichkeit

q = 1 - p

geht der Motor schon auf dem 1. Kilometer kaputt.

b)

mit der Wahrscheinlichkeit

p

ist der Motor nach dem 1. Kilometer noch ganz.

c)

mit der Wahrscheinlichkeit

p \cdot q = p \cdot (1 - p)

geht der Motor auf dem 2. Kilometer kaputt.

d)

mit der Wahrscheinlichkeit

p^{2}

ist der Motor nach dem 2. Kilometer noch ganz.

e)

mit der Wahrscheinlichkeit

p \cdot p \cdot q = p \cdot p \cdot (1 - p)

geht der Motor auf dem 3. Kilometer kaputt.

f)

mit der Wahrscheinlichkeit

p^{3}

ist der Motor nach dem 3. Kilometer noch ganz.
usw...

Errechnen wir den Erwartungswert für die Laufleistung des Motors.

a) \in q

Fällen geht der Motor schon auf dem 1. Kilometer kaputt. (ich erlaube mir, von einer 0km-Laufleistung zu sprechen.)

b) \in p \cdot q

Fällen geht der Motor auf dem 2. Kilometer kaputt. (ich nenne das mal Laufleistung 1km)

c) \in p^{2} \cdot q

Fällen geht der Motor auf dem 3. Kilometer kaputt. (2km)
usw.

Erwartungswert

E

für die Laufleistung:

E =

q*0km

+

p*q*1km

+ p^{2}

*q*2km

+ p^{3}

*q*3km

+ . .

= q

*km

\cdot [p + 2 \cdot p^{2} + 3 \cdot p^{3} + 4 \cdot p^{4} + ...]

Das ist eine (abgewandelte) geometrische Reihe.

E = q

*km

\cdot \frac{p}{{(1 - p)}^{2}}

und da

q = 1 - p

E = (1 - p)

*km

\cdot \frac{p}{{(1 - p)}^{2}}

E = (p

*km)

/ (1 - p)

Du nanntest das Zahlenbeispiel

p = \frac{99999}{100000}; q = \frac{1}{100000}

Dann:

E = 99999

km

Das lehrt mich: Du hattest recht. Wenn die Wahrscheinlichkeit für den Motor, auf einem ausgewählten Kilometer kaputt zu gehen,

q

beträgt, dann beträgt der Erwartungswert für die Laufleistung

\frac{1}{q}

km.
Meine Erstüberlegung wies in eine andere Richtung. Deshalb hatte ich diesen Gedankengang zunächst bestritten. Ich hatte unrecht. Schande über mich. Hau mir auf die Finger. Zerreiß ich mir mein Obergewand. Stellt mich an den Pranger.

Hoffentlich kann ich mit meinen Anregungen nun doch noch hilfreich auf die rechte Fährte weisen.

anonymous

00:27 Uhr, 17.09.2014

da war doch noch was...

pleindespoir aktiv_icon

21:09 Uhr, 17.09.2014

Kleine Zwischenüberlegung vorm Einschlafen:

Nach der mittleren Laufleistung M ist ein Schaden zu erwarten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Zehntel von M das Ereignis auftritt, ist 1/10
Im zweiten Zehntel wäre die Wahrscheinlichkeit auch 1/10, aber da sind ja schon 1/10 der Autos Schrott und nur noch 9/10 fahren noch. Also gehen im zweiten Zehntel nur noch

\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10}

kaputt. Dann sind insgesamt schon

\frac{1}{10} + \frac{9}{100}

am Ende. Im dritten Zehntel sterben von den nun verbleibenden

\frac{100}{100} - (\frac{10}{100} + \frac{9}{100}) = \frac{81}{100}

wieder ein Zehntel, also

\frac{81}{1000}

...

Das sieht zum "Reihern" aus, oder ?

Jetz schaffe mer net mit Zehnteln, sondern mit "Unendlichsteln" - das wird bestimmt eine "

e

lende" Funktion.

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