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Wann ist affine Abbildung eigene Umkehrabbildung?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Affine Abbildung, invers, Linear Abbildung, transponiert

 
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Baske

Baske aktiv_icon

23:12 Uhr, 21.06.2024

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Hallo,

Anlässlich einer Aufgabe habe ich mich gefragt, wann eine affine Abbildung allgemein ihre eigene Umkehrabbildung ist?

Habe ich das richtig verstanden, dass dann die Matrix vor Anwendung der Abbildungsvorschrift exakt der Matrix nach der Anwendung der Abbildungsvorschrift sein muss? Also Urbild = Abbild?

Meine Überlegung dazu wäre, dass eine Voraussetzung Orthogonalität wäre, da daraus Inverse = Transponierte folgt
Wenn dann die ursprüngliche Matrix = ihrer Transponierten wäre, könnte man daraus
ursprüngliche Matrix = Inverse folgern?

kurz: sei A eine Matrix
Orthogonalität -> A^-1 = A^T
Falls zusätzlich A = A^T -?> A = A^-1


Falls ja, gilt das nur für lineare Abb. oder darf da ein Translationanteil hinzu kommen?
Wenn nein, warum darf ich nicht so folgern?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

12:41 Uhr, 22.06.2024

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Hallo,

affine Abbildungen sind nach Koordinatisierung stets von der Form f(x)=Ax+t (endliche Dimension vorausgesetzt).

Es gilt x=f(f(x))=f(Ax+t)=A2x+At+t für alle x gilt.
Insbesondere muss dies natürlich für den Nullvektor gelten, sodass 0=At+tAt=-t notwendig ist.
Dann muss aber x=A2x(A2-E)x=0 für alle x, d.h. A2=E.

In dem Falle wird die gesamte Geschichte dann aber auch hinreichend.

Mfg Michael
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