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Wann ist diese Funktion eine Kontraktion?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktion, Funktionalanalysis, Kontraktion, Mathematik, Raum, Umgebung

anonymous

10:00 Uhr, 24.05.2019

Hallo,

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei $T : C ([0,1]; ℝ) \to C ([0,1]; ℝ)$ eine Funktion mit $T (u (s)) = \int_{0}^{s} u^{2} (y) d y$ und $C ([0,1]; ℝ)$ ist der Raum der stetigen Funktionen $[0,1] \to ℝ$ . Die aus der Norm induzierte Metrik ist:
$d_{C ([0,1]; ℝ)} (f, g) =$ Supremum ${| f (x) - g (x) |$ mit $x \in [0,1]}$ .

Geben sie eine Umgebung der 0-Funktion an, auf der $T$ eine Kontraktion ist.

So weit bin ich:

Definition (Kontraktion):

$(M, d)$ sei ein Metrischer raum und $φ : M \to M$ . $φ$ heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl $λ \in [0,1)$ gibt sodass $\forall x, y \in M$ gilt:

$d (φ (x), φ (y)) \leq λ \cdot d (x, y)$

Umgebung um die 0-Funktion:

$B_{ε} (0) = {f \in C ([0,1]; ℝ) | d (f,0) < ε}$

Somit formuliere ich den Begriff der Kontraktion au dem Funktionenraum folgendermaßen:

$(C ([0,1]; ℝ), d_{C ([0,1]; ℝ)})$ ist ein Metrischer Raum und $T : C ([0,1]; ℝ) \to C ([0,1]; ℝ)$ . Dann ist $B_{ε} (0) \subset C ([0,1]; ℝ)$ ein Unterraum von $C ([0,1]; ℝ)$ . Sei Also $(B_{ε} (0), d_{B_{ε} (0)})$ ein Metrischer Raum und $φ : B_{ε} (0) \to B_{ε} (0)$ . Somit ist natürlich $d_{B_{ε} (0)} (f, g)$ gleich definiert wie $d_{C ([0,1]; ℝ)}$ nur eben $\forall f, g \in B_{ε} (0)$ . $φ$ heißt Konraktion, wenn es eine Zahl $λ \in [0,1)$ sodass $\forall f, g \in B_{ε} (0)$ gilt:

$d_{B_{ε} (0)} (φ (f), φ (g)) \leq λ \cdot d_{B_{ε} (0)} (f, g)$

Jetzt muss ich quasi ein Epsilon finden, sodass $φ$ eine Kontraktion ist...
(habe ich den Begriff der Kontraktion für den Fall der Aufgabe richtig definiert? Also ist die Abbildung $φ$ hier richtig oder geht es um eine Abbildung der Form $B_{ε} (0) \to C ([0,1]; ℝ)$ ?) Und wie gehe ich nun am besten vor? Wie finde ich das $ε > 0$ ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

19:08 Uhr, 25.05.2019

HILFEEE BITTE!

ermanus aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.05.2019

Hallo,
es ist
$∥ T (u) - T (v) ∥ = sup_{s \in [0, 1]} ∣ T (u) (s) - T (v) (s) ∣ =$
$sup_{s} ∣ \int_{0}^{s} (u^{2} (y) - v^{2} (y)) d y ∣ \leq sup_{s} \cdot s \cdot sup_{y} ∣ u^{2} (y) - v^{2} (y) ∣ = sup_{y} ∣ u^{2} (y) - v^{2} (y) ∣ =$
$sup_{y} ∣ u (y) + v (y) ∣ \cdot ∣ u (y) - v (y) ∣ \leq \frac{1}{2} ∥ u - v ∥$
für alle $u, v \in B_{\frac{1}{4}} (0)$ .

Gruß ermanus

anonymous

21:29 Uhr, 26.05.2019

WOW! Vielen Dank!

LG Max Stuthmann

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