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Wann ist diese Funktion eine Kontraktion?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktion, Funktionalanalysis, Kontraktion, Mathematik, Raum, Umgebung

xam193 aktiv_icon

10:00 Uhr, 24.05.2019

Hallo,

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei

T : C ([0,1]; ℝ) \to C ([0,1]; ℝ)

eine Funktion mit

T (u (s)) = \int_{0}^{s} u^{2} (y) d y

und

C ([0,1]; ℝ)

ist der Raum der stetigen Funktionen

[0,1] \to ℝ

. Die aus der Norm induzierte Metrik ist:

d_{C ([0,1]; ℝ)} (f, g) =

Supremum

{| f (x) - g (x) |

mit

x \in [0,1]}

.

Geben sie eine Umgebung der 0-Funktion an, auf der

T

eine Kontraktion ist.

So weit bin ich:

Definition (Kontraktion):

(M, d)

sei ein Metrischer raum und

φ : M \to M

φ

heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl

λ \in [0,1)

gibt sodass

\forall x, y \in M

gilt:

d (φ (x), φ (y)) \leq λ \cdot d (x, y)

Umgebung um die 0-Funktion:

B_{ε} (0) = {f \in C ([0,1]; ℝ) | d (f,0) < ε}

Somit formuliere ich den Begriff der Kontraktion au dem Funktionenraum folgendermaßen:

(C ([0,1]; ℝ), d_{C ([0,1]; ℝ)})

ist ein Metrischer Raum und

T : C ([0,1]; ℝ) \to C ([0,1]; ℝ)

. Dann ist

B_{ε} (0) \subset C ([0,1]; ℝ)

ein Unterraum von

C ([0,1]; ℝ)

. Sei Also

(B_{ε} (0), d_{B_{ε} (0)})

ein Metrischer Raum und

φ : B_{ε} (0) \to B_{ε} (0)

. Somit ist natürlich

d_{B_{ε} (0)} (f, g)

gleich definiert wie

d_{C ([0,1]; ℝ)}

nur eben

\forall f, g \in B_{ε} (0)

φ

heißt Konraktion, wenn es eine Zahl

λ \in [0,1)

sodass

\forall f, g \in B_{ε} (0)

gilt:

d_{B_{ε} (0)} (φ (f), φ (g)) \leq λ \cdot d_{B_{ε} (0)} (f, g)

Jetzt muss ich quasi ein Epsilon finden, sodass

φ

eine Kontraktion ist...
(habe ich den Begriff der Kontraktion für den Fall der Aufgabe richtig definiert? Also ist die Abbildung

φ

hier richtig oder geht es um eine Abbildung der Form

B_{ε} (0) \to C ([0,1]; ℝ)

?) Und wie gehe ich nun am besten vor? Wie finde ich das

ε > 0

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

xam193 aktiv_icon

19:08 Uhr, 25.05.2019

HILFEEE BITTE!

ermanus aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.05.2019

Hallo,
es ist

∥ T (u) - T (v) ∥ = sup_{s \in [0, 1]} ∣ T (u) (s) - T (v) (s) ∣ =

sup_{s} ∣ \int_{0}^{s} (u^{2} (y) - v^{2} (y)) d y ∣ \leq sup_{s} \cdot s \cdot sup_{y} ∣ u^{2} (y) - v^{2} (y) ∣ = sup_{y} ∣ u^{2} (y) - v^{2} (y) ∣ =

sup_{y} ∣ u (y) + v (y) ∣ \cdot ∣ u (y) - v (y) ∣ \leq \frac{1}{2} ∥ u - v ∥

für alle

u, v \in B_{\frac{1}{4}} (0)

.

Gruß ermanus

xam193 aktiv_icon

21:29 Uhr, 26.05.2019

WOW! Vielen Dank!

LG Max Stuthmann

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