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Wann ist eine Relation eine halb/totale Ordnung

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Relationen

Tags: Antisymmetrie, antisymmetrisch, Halbordnung, reflexiv, Reflexivität, Relation., Totale Ordnung, transitiv, Transitivität

 
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eroht

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14:33 Uhr, 01.03.2016

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Hallo,

ich probiere folgende Aufgabe zu lösen: Wir definieren eine Relation P auf ℕ wie folgt: Für x,y∈ℕ gilt xPy genau dann, wenn ein a∈ℕ mit ax=y existiert.

a) Beweisen sie anhand dieser Definiton, dass P eine partielle Ordnung auf ℕ ist
b) Überprüfen sie ob P eine totale Ordnung ist.

Für a muss ich nach der Reflexivität, Antisymmetrie und der Transitivität schauen. Ich kenne die Definitionen, hab aber keine Ahnung wie ich das zeigen soll, das es gilt. Sei a=1

1. Reflexivität: ∀x∈ℕ:xPx
Damit die Relation reflexiv ist muss x=y sein, dann ist die Gleichung x1=y=x=y erfüllt und die Relation reflexiv.

2. Antisymmetrisch: ∀x,y∈ℕ:xPy⋀yPx⇒x=y. Ab hier hab ich nicht wirklich einen Plan, wie ich das beweisen soll. Ich könnte zeigen das es nicht symmetrisch ist in dem ich zwei Elemente nehme und die in die Gleichung einsetze. Aber damit hab ich nicht bewiesen das dies für alle Elemente gilt.

3. Transitivität: ∀x,y,y∈ℕ:xPy⋀yPz⇒xPz. Hier hab ich absolut keinen Plan was zu tun ist.

Für die b muss ich auf Totalität prüfen. ∀x,y∈ℕ:x≤y⋁y≤x. Hierfür würde ich zwei Elemente nehmen z.B. 2 und 3 und diese in die Gleichung einsetzen. Dann bekomme ich:

Für 2P3: 2a=3 dann ist a=1.5, dieses liegt nicht in den natürlichen Zahlen.
Und für 3P2:3a=2 dann ist a=23, dies liegt auch nicht in den natürlichen Zahlen.

Da es keine a gibt, dass die Gleichung für alle Elemente erfüllt, ist P keine totale Ordnung, richtig?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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ledum

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20:04 Uhr, 01.03.2016

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1: wegen x=1⋅x ist P reflexiv.
2. antisym aus x=ay gilt nicht y=bx denn wenn y Teiler von x ist ist x nicht Teiler von y außer x=y
3. x=a⋅y,y=b⋅z folgt x=a⋅b⋅z da a⋅b∈ℕ folgz xPz also tr.
b) einfacher wenn y nicht Teiler von x ist kann man keine Relation angeben. man kann nur Zahlen ordnen, die einen gemeinsamen Teiler haben, aber das sagen ja auch deine Gegenbeispiele.
Gruß ledum
Frage beantwortet
eroht

eroht aktiv_icon

12:02 Uhr, 02.03.2016

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Vielen dank!