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Wann liegt Vektor c in Ebene von a und b
Universität / Fachhochschule
Skalarprodukte
Vektorräume
Tags: Analytische Geometrie, eben, Mathematik, Skalarprodukt, Studium, Vektor, Vektorraum
 
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Gegeben sind die 3 Vektoren , und Für welche Werte u und v liegt in der Ebene, die durch a und b aufgespannt wird. Leider habe ich absolut keine Ahnung von den Zusammenhängen dieser beiden Sachen. Eine Formel / Lösungsansatz zu diesem Problem würde mir eigentlich reichen, aber wenn es jemand ganz für mich lösen möchte, wäre mir das auch willkommen. Vielen Dank im Vorhinein. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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Du könntest ja mit einen Normalvektor einer von und aufgespannten Ebene ermitteln und dann untersuchen, wie beschaffen sein muss, damit das Skalarprodukt ist. Dass in der Angabe von "der Ebene, die von und aufgespannt wird" gesprochen wird, ist insofern falsch, als durch zwei Vektorene allein ohne Stützpunkt keine Ebene eindeutig festgelegt ist. |
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Hallo, vorab: ich halte die Methode, die Roman-22 genannt hat, für die schnellste/einfachste. Zum Hintergrund: Du solltest (Abitur in D vorausgesetzt) den Begriff der Kollinearität kennen. Da geht es darum, ob zwei Vektoren und mit dem gleichen Stützvektor die gleiche Gerade aufspannen. Das konnte man dadurch lösen, dass man untersuchte, ob eine Lösung hatte oder nicht. Eine Dimension weiter nennt man den Begriff komplanar. Drei Vektoren , und sind genau dann komplanar, wenn stets je zwei von ihnen mit jeweils dem gleichen Stützvektor die gleiche Ebene aufspannen. Eine Form der Untersuchung im (!) hat dir Roman-22 genannt. Allgemein steckt hinter beiden Begriffen der allgemeinere Begriff der linearen Abhängigkeit. , heißen kollinear, wenn linear abhängig ist. , und heißen kollinear, wenn linear abhängig ist. Damit erhält man auch eine dem ersten Fall entsprechende Untersuchungsmöglichkeit, die selbst dann funktioniert, wenn das Vektorprodukt nicht zur Verfügung steht. Es muss also gelten: muss eine von verschiedene Lösung haben. Alternativ (wegen der Parameter) kann das System auch wie folgt geschrieben werden: Durch diese Gleichung ergibt sich ein System aus 3 Gleichungen und den 4 Variablen , , und , bei dem aber lediglich eine Gleichung der Art oder umgekehrt interessiert. Bedenke: Gilt etwa und , so ist und damit Komplanarität gegeben. Ebenso für und (dann eben mit Vektor ). Hintergrund der Aufgabe nun klar? Frage meinerseits: Wird so etwas heutzutage nicht mehr in der Übung zur Vorlesung behandelt? Oder gar in der Vorlesung selbst? Mfg Michael |
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Oder . Bilde aus den 3 Vektoren eine Matrix, berechne ihre Determinante und setze diese . ( Das ist "de facto" nur eine rechnerische Variante davon, was dir Roman-22 vorgeschlagen hat. ) Die Determinante der so definierten Matrix liefert auch das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannte Parallelepipeds ( siehe Spatprodukt ). |
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