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Wann stimmen zwei lineare Abbildungen überein?

Universität / Fachhochschule

Tags: Dualraum, Linear Abbildung, Lineare Algebra

anonymous

15:00 Uhr, 29.04.2018

Guten Tag alle zusammen,

im Anhang sende ich euch eine Aufgabe.
Mir ist nicht klar, wann zwei lineare Abb. übereinstimmen.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Imahn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:00 Uhr, 29.04.2018

Hallo,

> Mir ist nicht klar, wann zwei lineare Abb. übereinstimmen.

Trivial: Zwei (nicht notwendigerweise lineare) Abbildungen stimmen überein, wenn sie für jedes mögliche Element beider Definitionsmengen das gleiche Bild liefern.
Daraus folgt schon, dass die Definitionsmengen übereinstimmen müssen, da sonst die eine Abbildung ein Bild und die andere keines liefern würde.

Stelle dir die Frage, wie man es hätte sonst definieren sollen?!

Mfg Michael

tobit aktiv_icon

16:58 Uhr, 29.04.2018

Hallo zusammen!

Zwei Abbildungen

f, g : M \to N

stimmen in der gängigen Mathematik genau dann überein, wenn

f (m) = g (m)

für alle

m \in M

gilt.

Definiert man Abbildungen als linkseindeutige rechtstotale Relationen, so ist dieser Zusammenhang beweisbar.

Anderenfalls wird man wohl den Begriff der Abbildung als mathematischen Grundbegriff ansehen und diesen Zusammenhang axiomatisch annehmen.

(Dies ist aber keineswegs zwangsläufig: Beispielsweise der Theorem-Beweiser Coq arbeitet mit einer Logik, in der dieser Zusammenhang namens "Functional Extensionality" nicht beweisbar ist!)

(Auch wenn selbst manche Professoren von einer "Definition" des Gleichheitsbegriffes (z.B. für Mengen oder Abbildungen) sprechen: Ein richtiger Gleichheitsbegriff kann nicht einfach willkürlich definiert werden, solange man möchte, dass als gleich definierte Objekte auch in allen Eigenschaften übereinstimmen. Zwei Abbildungen

f, g : M \to N

mit

f (m) = g (m)

für alle

m \in M

müssten ohne "Functional Extensionality" noch lange nicht in allen Eigenschaften übereinstimmen: Beispielsweise könnte es eine Menge A mit

f \in A

und

g \notin A

geben.)

Im Falle linearer Abbildungen

f, g : V \to W

ist häufig der sicherlich aus der Vorlesung bekannte Zusammenhang nützlich, dass f und g schon dann übereinstimmen, wenn sie auf einer Basis B von V übereinstimmen (d.h. wenn eine Basis

B

von V existiert mit

f (v) = g (v)

für alle

v \in B

).

Viele Grüße
Tobias

ermanus aktiv_icon

17:36 Uhr, 29.04.2018

Hallo,
wenn also

T

und

T ʹ

die gleichen linearen Abbildungen sein sollen,
muss insbesondere

T (b_{1}) = T ʹ (b_{1})

sein.
Das kannst du ja mal überprüfen ...
Bedenke dabei die Eigenschaften dualer Basen

e_{i}^{*} (e_{j}) = δ_{i j}

und

b_{i}^{*} (b_{j}) = δ_{i j}

ermanus aktiv_icon

11:04 Uhr, 30.04.2018

Für die Überprüfung von

T (b_{1}) = T ʹ (b_{1})

setze speziell

b_{1}

ein.
Also berechne

T (b_{1}) (b_{1})

und

T ʹ (b_{1}) (b_{1})

.
Nutze dabei auch die Linearität von

T

anonymous

17:46 Uhr, 30.04.2018

Guten Tag alle zusammen,

erst eimal vielen Dank für eure Antworten!!

(T (b_{1})) (b_{1}) = . . . = e_{1}^{*} (e_{1}) + e_{1}^{*} (e_{2}) + e_{2}^{*} (e_{1}) + e_{2}^{*} (e_{2}) = 2 \neq (T ʹ (b_{1})) (b_{1}) = 1

Beide lineare Abbildungen

T

und

T ʹ

sind bijektiv. Ich habe bei der Begründung hauptsächlich
das Agument benutzt, dass die in der Aufgabe gegebenen Vektoren eine eindeutige Darstellung
aus einer Linearkombination der Basisvektoren besitzen, also etwa:

Um die Surjektivität von

T

zu zeigen, konstruiere ich mir zu einem beliebigen

φ^{*} \in V^{*}

ein zugehöriges

v \in V

(seien

λ, μ \in ℝ

φ^{*} = λ \cdot b_{1}^{*} + μ \cdot b_{2}^{*} = . . . = T ʹ (λ \cdot b_{1} + μ \cdot b_{2}) = T ʹ (v)

mit

v := λ \cdot b_{1} + μ \cdot b_{2}

. Nun kommt dazu, wie ich oben erwähnt habe, dass sich jeder Vektor EINDEUTIG als Linearkombination schreiben lässt, womit ich fertig sein sollte.

Um die Surjektivität von

T

zu zeigen, gehe man vollkommen analog vor.

Inejktivität begründet man wieder mit der eindeutigen Darstellung.

Ist das alles richtig? VIELEN DANK für eure Hilfe!

Beste Grüße

ermanus aktiv_icon

23:17 Uhr, 30.04.2018

Die Bijektivität kannst du einfacher bekommen:
eine lineare Abbildung, die eine Basis eines 2-dimensionalen Raumes

V_{1}

auf eine Basis eines 2-dimensionalen Raumes

V_{2}

abbildet,
ist "automatisch" ein Isomorphismus.

anonymous

09:10 Uhr, 01.05.2018

Hi ermanus,

wow, die Bijektivität ist echt einfach zu ,,zeigen". VIELEN Dank!

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