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Wann wird die dritte Ableitung gleich null

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
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therese

therese aktiv_icon

19:36 Uhr, 14.10.2009

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Normalerweise untersucht man ja bei einem Wendepunkt ob die dritte Ableitung ungleich null ist, wann wird sie noch mal gleich null und was bedeutet das in der Kurvendiskussion
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
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Photon

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19:51 Uhr, 14.10.2009

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Sie wird gleich Null, wenn sie an der zu untersuchenden Stelle gleich Null wird. :-) Für den Graphen bedeutet das, dass es sich nicht um einen Wendepunkt handelt, sondern um einen Flachpunkt (Die Krümmung ist erst positiv, dann kurzzeitig Null und dann wieder positiv (oder negativ Null negativ). Man kann sich das so vorstellen, dass die zweite Ableitung an der Stelle x0 zwar einen Nullpunkt, aber keinen Nulldurchgang hat (so wie eine Normalparabel bei x=0). Dadurch gibt es keinen Vorzeichenwechsel und dementsprechend keine "Wendung" in der Krümmung.
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michaL

michaL aktiv_icon

03:41 Uhr, 15.10.2009

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Hallo zusammen,

@Photon: Das ist nicht unbedingt richtig so. Gegenbeispiel: f:xx5. Es gilt: f(x)=60x2 und somit f(0)=0. Trotzdem liegt bei x=0 ein Wendepunkt vor.

@Therese: Eigentlich mag ich diese "hinreichende Bedingung" nicht. Wichtig ist bei den Wendepunkten nur, dass die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt, etwa von + nach -, was bedeuten würde, dass die erste Ableitung erst steigt, dann fällt (Übergang von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt).
Das findest du heraus, in dem du die Grenzwerte für xxw- und xxw+ untersuchst, also ob sich der Graph der zweiten Ableitung auf verschiedenen Seiten der x-Achse befindet oder der gleichen.
Alternativ kannst duch auch immer weiter ableiten, bis sich zum ersten Mal eine Ableitung ungleich Null ergibt (nuss es geben, sonst hast du die Nullfunktion vorliegen, die hat keine Wendepunkte). Ist die Ableitung das erste Mal ungleich Null bei einem ungeraden Index, so liegt ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vor, sonst nicht.

Mfg Michael
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Rentnerin

Rentnerin

11:03 Uhr, 15.10.2009

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Hallo,

"... muss es geben, sonst hast du die Nullfunktion vorliegen ..."

Wie ist das mit der Funktion f:RR mit f(x)=e-1x2x0 und f(0)=0 an der Stelle x0=0?

Gruß Rentnerin
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michaL

michaL aktiv_icon

11:26 Uhr, 15.10.2009

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Hallo Roberta,

ich gebe zu, dass ich von einer analytischen Funktion ausgegangen war, denn sonst könnte man ja nicht beliebig weiter ableiten. Dann wäre aber die Potenzreihe um den potentiellen Wendepunkt die Nullreihe. Wenn die Funktion aber analytisch ist, stimmt sie mit ihrer Potenzreihe überein, was dein Gegenbeispiel nicht tut, jedenfalls soweit ich das erkennen kann (Typo?).

Mfg Michael
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Rentnerin

Rentnerin

12:05 Uhr, 15.10.2009

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Warum kann man die angegebene Funktion an der Stelle 0 nicht "beliebig weiter" ableiten?
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michaL

michaL aktiv_icon

13:41 Uhr, 15.10.2009

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Hallo Roberta,

tja, da muss ich meine Worte schlucken. Sieht danach aus, als wären die Ableitungen in Null stetig ergänzbar. Muss darüber wohl noch mal nachdenken. Danke für den Tipp.

Mfg Michael